Question

9．如图所示，将一个折射率为n=$\frac{4}{3}$矩形截面长方体玻璃砖放在空气中，一单色细光束由P点射入玻璃砖，入射角为θ，AP=$\frac{3}{4}$AD．求：
（1）若要使光束进入玻璃砖后能射至AD面上，角θ的最小值为多少？
（2）若要此光束在AD面上发生全反射，角θ的范围如何？（用sinθ表示）

Answer 1

分析 （1）根据折射定律，结合几何关系求出使光束进入长方体后能射至AD面上时最小的折射角，由折射定律求角θ的最小值．
（2）结合全反射的条件，以及折射定律和几何关系求出角θ的范围．

解答 解：（1）要使光束进入长方体后能射至AD面上，设最小折射角为α．AP=3d，则AD=4d．根据几何关系有
  sinα=$\frac{AP}{\sqrt{A{P}^{2}+A{D}^{2}}}$=$\frac{3d}{\sqrt{（3d）^{2}+（4{d}^{2}）}}$=$\frac{3}{5}$．
根据折射定律有
  $\frac{sinθ}{sinα}$=n
解得角θ的最小值 θ=arcsin（nsinα）=arcsin（$\frac{4}{3}×\frac{3}{5}$）=53°
（2）如图，要此光束在AD面上发生全反射，则要求射至AD面上的入射角β应满足
 sinβ≥sinC
又 sinC=$\frac{1}{n}$
则sinβ≥$\frac{1}{n}$
由几何关系有，sinβ=cosα=$\sqrt{1-si{n}^{2}α}$=$\sqrt{1-\frac{si{n}^{2}θ}{{n}^{2}}}$
联立得  $\sqrt{1-\frac{si{n}^{2}θ}{{n}^{2}}}$≥$\frac{1}{n}$
联立得 sinθ＜$\sqrt{{n}^{2}-1}$=$\sqrt{（\frac{4}{3}）^{2}-1}$=$\frac{\sqrt{7}}{3}$．
所以若要此光束在AD面上发生全反射，角θ的范围为sin53°＜sinθ＜$\frac{\sqrt{7}}{3}$．即$\frac{4}{5}$＜sinθ＜$\frac{\sqrt{7}}{3}$．
答：
（1）若要使光束进入长方体后能射至AD面上，角θ的最小值为53°．
（2）若要此光束在AD面上发生全反射，角θ的范围为$\frac{4}{5}$＜sinθ＜$\frac{\sqrt{7}}{3}$．

点评 本题考查折射定律和全反射条件的基本运用，要能熟练运用数学几何求解相关角度，需加强训练，提高解题能力．