题目内容

17．如图所示，在距水平地面高h1=1.2m的光滑水平台面上，一个质量m=1kg的小物块压缩弹簧后被锁扣K锁住，储存了一定量的弹性势能Ep．现打开锁扣K，物块与弹簧分离后将以一定的水平速度v1向右滑离平台，并恰好从B点沿切线方向进入光滑竖直的圆弧轨道BC．已知B点距水平地面的高h 2=0.6m，圆弧轨道BC的圆心O与水平台面等高，C点的切线水平，并与水平地面上长为L=2.8m的粗糙直轨道CD平滑连接，小物块与右边的竖直墙壁发生碰撞可以等速率反弹，重力加速度g=10m/s2，空气阻力忽略不计．试求：

（1）压缩的弹簧在被锁扣K锁住时所储存的弹性势能Ep
（2）若要使小物块最终停在CD区域，那么小物块与轨道CD之间的动摩擦因数μ应该满足怎样的条件．
（3）要使小物块无摩擦地从C沿直线CD运动到D时速度为0，可以从C点开始在竖直面内对小物块施加一个恒力，试求此恒力的大小．

分析 （1）小物块做平抛运动，根据高度求出平抛运动的时间，由速度公式求得小物块到达B点时竖直方向的速度，运用运动的分解法求解物块运动到B的瞬时速度vB；小物块从释放到运动达到A的过程中，运用机械能守恒定律求弹簧开始时储存的弹性势能大小；
（2）根据能量守恒列出能量等式解决问题．由于物块的末位置不确定，要考虑物块可能的滑过的路程；
（3）从B到D由动能定理可求得对小物块施加恒力的大小和方向．

解答 解：（1）小物块由A运动到B的过程中做平抛运动，在竖直方向上根据自由落体运动规律可知，
小物块由A运动到B的时间为：t=$\sqrt{\frac{2（{h}_{1}-{h}_{2}）}{g}}$=$\sqrt{\frac{2×（1.2-0.6）}{10}}$=$\frac{\sqrt{3}}{5}$s，
到达B点时竖直方向的速度大小为：vBy=gt=2$\sqrt{3}$m/s，
根据图中几何关系可知，cos∠BOC=$\frac{{h}_{1}-{h}_{2}}{{h}_{1}}$=$\frac{1.2-0.6}{1.2}$=$\frac{1}{2}$，
解得：∠BOC=60°，所以vB与水平方向的夹角为60°
根据平抛运动规律有：vB=$\frac{{v}_{By}}{sin60°}$=4m/s，v0=vBcos60°=2m/s，
小物块从释放到运动达到A的过程中，机械能守恒，有：EP=$\frac{1}{2}$mv02=2J；                                 
（2）依据题意知，①μ的最大值对应的是物块撞墙前瞬间的速度刚好等于零，
根据能量关系有：mgh1+Ep=μmgL，解得：μ=0.5；
②对于μ的最小值求解，首先应判断物块第一次碰墙后反弹，能否沿圆轨道滑离B点，
设物块碰前在D处的速度为v2，由能量关系有：mgh1+Ep=μmgL+$\frac{1}{2}$mv22
第一次碰墙后返回至C处的动能为：EkC=$\frac{1}{8}$mv22-μmgL  可知即使μ=0，
有：$\frac{1}{2}$mv22=14J，$\frac{1}{8}$mv22=3.5J＜mgh2=6J，小物块不可能返滑至B点，
故μ的最小值对应着物块撞后回到圆轨道最高某处，又下滑经C恰好至D点停止，
因此有：$\frac{1}{8}$mv22=2μmgL，联立mgh1+Ep=μmgL+$\frac{1}{2}$mv22，解得：μ=$\frac{1}{18}$，
综上可知满足题目条件的动摩擦因数μ值为：$\frac{1}{18}$＜μ≤0.5；
（3）要使小物块无摩擦地沿直线通过CD从而进入D处的接收装置，
即是物块做减速到D点速度刚减为0，所以对小物块施加一个向左的恒力，
从B到D，由动能定理可得：mgh2-FL=0-$\frac{1}{2}$mvB2，解得：F=5N，方向向左．
答：（1）压缩的弹簧在被锁扣K锁住时所储存的弹性势能为2J；
（2）动摩擦因数μ应该满足的条件是$\frac{1}{18}$＜μ≤0.5；
（3）恒力的大小为5N．

点评 做物理问题应该先清楚研究对象的运动过程，根据运动性质利用物理规律解决问题；关于能量守恒的应用，要清楚物体运动过程中能量的转化；动能定理可以分过程也可以全过程使用，应适当选择．

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