Question

4．如图所示，电阻不计的两光滑金属导轨放在水平绝缘桌面上，半径为R的$\frac{1}{4}$圆弧部分处在竖直平面内，水平直导轨部分处在方向竖直向下的匀强磁场中，末端与桌面边缘平齐．两金属棒ab、cd垂直于两导轨且与导轨接触良好．棒ab质量为2m，棒cd的质量为m．重力加速度为g．
开始棒cd静止在水平直导轨上，棒ab从圆弧顶端无初速度释放，进入水平直导轨后与棒cd始终没有接触并一直向右运动，最后两棒都离开导轨落到地面上．棒ab与棒cd落地点到桌面边缘的水平距离之比为1：3．求：

①棒ab和棒cd离开导轨时的速度大小；
②两棒在导轨上运动过程中产生的焦耳热．

Answer 1

分析 （1）ab棒下滑的过程中机械能守恒，可求得刚进入磁场时的速度．棒ab和棒cd离开导轨做平抛运动，根据平抛运动的规律和水平位移之比求解．两棒都在轨道上运动时系统的合外力为零，遵守动量守恒，由动量守恒定律列式，联立即可求解．
（2）ab棒与cd棒在水平导轨上运动，根据能量定恒求解两棒在轨道上运动过程产生的焦耳热．

解答 解：（1）ab棒刚进入水平导轨时，cd棒受到的安培力最大，此时它的加速度最大．
设ab棒进入水平导轨的速度为v₁，ab棒从圆弧导轨滑下机械能守恒：
 2mgR=$\frac{1}{2}$×2mv₁²
解得：v₁=$\sqrt{2gR}$ 
离开导轨时，设ab棒的速度为v₁′，cd棒的速度为v₂′．
由h=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$知两棒离开导轨做平抛运动的时间相等，由平抛运动水平位移x=v₀t可知
   v₁′：v₂′=x₁：x₂=1：3
即 v₂′=3v₁′
根据动量守恒得：
 2mv₁=2mv₁′+mv₂′
联立解得 v₁′=$\frac{2}{7}\sqrt{2gR}$，v₂′=$\frac{6}{7}\sqrt{2gR}$
（2）根据能量守恒，两棒在轨道上运动过程产生的焦耳热为
  Q=$\frac{1}{2}×2m{v}_{1}^{2}$-（$\frac{1}{2}×2m{v}_{1}^{′2}$+$\frac{1}{2}m{v}_{2}^{′2}$）
联立解得，Q=$\frac{22}{49}$mgR
答：
（1）棒ab和棒cd离开导轨时的速度大小分别是$\frac{2}{7}\sqrt{2gR}$、$\frac{6}{7}\sqrt{2gR}$．
（2）两棒在导轨上运动过程中产生的焦耳热是$\frac{22}{49}$mgR．

点评 本题是双杆问题，与非弹性碰撞问题类似，根据机械能守恒定律、动量守恒定律和能量守恒定律，并结合运动学进行处理．要有分析和处理综合题的能力．