Question

如图所示，两根间距为L的金属导轨MN和PQ，电阻不计，左端弯曲部分光滑，水平部分导轨与导体棒间的滑动摩擦因数为μ，水平导轨左端有宽度为d、方向竖直向上的匀强磁场Ⅰ，右端有另一磁场Ⅱ，其宽度也为d，但方向竖直向下，两磁场的磁感应强度大小均为B₀，相隔的距离也为d。有两根质量为m、电阻均为R的金属棒a和b与导轨垂直放置，b棒置于磁场Ⅱ中点C、D处．现将a棒从弯曲导轨上某一高处由静止释放并沿导轨运动下去。

（1）当a棒在磁场Ⅰ中运动时，若要使b棒在导轨上保持静止，则a棒刚释放时的高度应小于某一值h₀，求h₀的大小；

（2）若将a棒从弯曲导轨上高度为h（h＜h₀）处由静止释放，a棒恰好能运动到磁场Ⅱ的左边界处停止，求a棒克服安培力所做的功及a棒穿过磁场Ⅰ所用的时间；

（3）若将a棒仍从弯曲导轨上高度为h（h＜h₀）处由静止释放，为使a棒通过磁场Ⅰ时恰好无感应电流，可让磁场Ⅱ的磁感应强度随时间而变化，将a棒刚进入磁场Ⅰ的时刻记为t＝0，此时磁场Ⅱ的磁感应强度为B₀，试求出在a棒通过磁场Ⅰ的这段时间里，磁场Ⅱ的磁感应强度随时间变化的关系式。

Answer 1

解：(1) 因为a棒进入磁场Ⅰ后做减速运动，所以只要刚进入时b棒不动，b就可以静止不动

对a棒：由机械能守恒：mgh₀＝mv  对回路：ε＝BLv₀，I＝

对b棒：BIL＝μmg     联立解得：h₀＝.

(2) 由全过程能量守恒与转化规律：mgh＝μmg2d＋W_克A 

解得：W_克A＝mgh－μmg2d

(3) a棒通过磁场Ⅰ时恰好无感应电流，说明感应电动势为零，

根据法拉第电磁感应定律ε＝，在Δt≠0的前提下，ΔΦ＝0即Φ保持不变(1分)

对a棒：由机械能守恒：mgh＝mv²  

a棒进入磁场Ⅰ后，由牛顿第二定律得：a＝μg

经过时间t，a棒进入磁场Ⅰ的距离为x＝vt－at² 

磁通量Φ＝B₀(d－x)L－BL  又最初磁通量为Φ₀＝B₀dL－B₀L＝B₀dL＝Φ 

联立解得：B＝B₀－ 

*或者用微积分处理因为：ε_感＝ε_动，ε_感＝·，ε_动＝B₀L(v－μgt)

所以得：^BB₀∫dB·＝^t₀∫B₀L(v－μgt)dt

解得(B－B₀)＝B₀L化简得：B＝B₀－