Question

17．如图所示，在xOy平面内以O为圆心、R₀为半径的圆形区域I内有垂直于纸面向外、磁感应强度为B₁的匀强磁场．一质量为m、带电荷量为+q的粒子以速度v₀从A（R₀，O）点沿x轴负方向射入区域I，经过P（0，R₀）点，沿y轴正方向进入同心环形区域Ⅱ，为使粒子经过区域Ⅱ后能从Q点回到区域I，需在区域Ⅱ内加一垂直于纸面向里、磁感应强度为B₂的匀强磁场．已知OQ与x轴负方向成30°角，不计粒子重力．求：
（1）区域I中磁感应强度B₁的大小；
（2）环形区域Ⅱ的外圆半径R的最小值；
（3）粒子从A点出发到再次经过A点所用的最短时间．

Answer 1

分析 （1）粒子在磁扬中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由运动轨迹可以求出粒子的轨道半径，根据洛伦兹力提供向心力可以求出磁感应强度．
（2）粒子在磁扬中做匀速圆周运动，由几何知识求出边界半径．
（3）求出粒子在磁场中的转过的圆心角，根据粒子做圆周运动的周期公式求出粒子的时间．

解答 解：（1）设在区域Ⅰ内轨迹圆半径为R₁，由图中几何关系可得：R₁=R₀
根据洛伦兹力提供向心力：qv₀B₁=$m\frac{{v}_{0}}{{R}_{1}}$
解得：B₁=$\frac{m{v}_{0}}{q{R}_{0}}$
（2）设粒子在区域Ⅱ中的轨迹圆半径为R₂，部分轨迹如图所示，有几何关系知：R₂=R₁tan30°=$\frac{\sqrt{3}}{3}{R}_{0}$；
由几何关系得：R=R₂+$\frac{{R}_{2}}{sin30°}$=3R₂=$\sqrt{3}$R₀
（3）当粒子由内侧圆弧经过A点时，应满足：150°n+90°=360°m   
当m=4时，n=9时间最短     
内侧圆弧上运动的总时间t₁=$10\frac{\frac{1}{2}π{R}_{0}}{{v}_{0}}$
外侧圆弧上运动的总时间t₂=$9\frac{\frac{4}{3}π×\frac{\sqrt{3}}{3}{R}_{0}}{{v}_{0}}$
最小时间t=t₁+t₂=$\frac{（5+4\sqrt{3}）π{R}_{0}}{{v}_{0}}$
答：（1）区域I中磁感应强度B₁的大小为$\frac{m{v}_{0}}{q{R}_{0}}$；
（2）环形区域Ⅱ的外圆半径R的最小值为$\sqrt{3}$R₀；
（3）粒子从A点出发到再次经过A点所用的最短时间为$\frac{（5+4\sqrt{3}）π{R}_{0}}{{v}_{0}}$．

点评 本题考查了粒子在磁场中的运动，分析清楚粒子运动过程，应用牛顿第二定律与周期公式分析答题，作出粒子运动轨迹有助于解题．