Question

2．如图所示，质量为m的由绝缘材料制成的球与质量为M=19m的金属球并排悬挂，摆长相同，均为l．现将绝缘球拉至与竖直方向成θ=60°的位置自由释放，摆至最低点与金属球发生弹性碰撞．在平衡位置附近存在垂直于纸面的磁场，已知由于磁场的阻尼作用，金属球总能在下一次碰撞前停在最低点处，重力加速度为g．求：
（1）第一次碰撞前绝缘球的速度v₀；
（2）第一次碰撞后绝缘球的速度v₁；
（3）经过几次碰撞后绝缘球偏离竖直方向的最大角度将小于37°．
（你可能用到的数学知识：sin37°=0.6，cos37°=0.8，0.81²=0.656，0.81³=0.531，0.81⁴=0.430，0.81⁵=0.349，0.81⁶=0.282）

Answer 1

分析 先根据机械能守恒定律求出小球返回最低点的速度，然后根据动量守恒定律和机械能守恒定律求出碰撞后小球的速度，对速度表达式分析，求出碰撞n次后的速度表达式，再根据机械能守恒定律求出碰撞n次后反弹的最大角度，结合题意讨论即可．

解答 解：（1）绝缘球下摆过程机械能守恒，由机械能守恒定律得：
 $mgl（1-cosθ）=\frac{1}{2}mv_0^2$  ①解得：${v_0}=\sqrt{2gl（1-cosθ）}=\sqrt{gl}$；
（2）两球碰撞过程动量守恒，以绝缘球的初速度方向为正方向，
由动滑轮守恒定律得：mv₀=mv₁+Mv_M ②
由机械能守恒定律得：$\frac{1}{2}mv_0^2=\frac{1}{2}mv_1^2+\frac{1}{2}Mv_M^2$   ③
联立②③解得：${v_1}=\frac{m-M}{m+M}{v_0}=-\frac{9}{10}{v_0}=-\frac{9}{10}\sqrt{gl}$，负号表示方向与碰撞前方向相反，向右；
（3）设在第n次碰撞前绝缘球的速度为v_n-1，碰撞后绝缘球、金属球的速度分别为v_n和V_n．
由于碰撞过程中动量守恒和机械能守恒，以碰撞前绝缘球的速度方向为正方向，
由动量守恒定律得：mv_n-1=MV_n+mv_n  ④
由机械能守恒定律得：$\frac{1}{2}mv_{n-1}^2=\frac{1}{2}MV_n^2+\frac{1}{2}mv_n^2$   ⑤
由④、⑤两式及M=19m解得：${v_n}=-\frac{9}{10}{v_{n-1}}$，
第n次碰撞后绝缘球的动能为：${E_n}=\frac{1}{2}mv_n^2={（0.81）^n}{E_0}$  ⑥
E₀为第1次碰撞前绝缘球的动能，即初始能量．
得：$\frac{E_n}{E_0}={（0.81）^n}$  ⑦
而绝缘球在θ=60°与θ=37°处的势能之比为：$\frac{{mgl（1-cos{{37}°}）}}{{mgl（1-cos{{60}°}）}}$=0.4     ⑧
根据上面数学知识，0.81⁴=0.430，0.81⁵=0.349，因此，经过5次碰撞后θ将小于37°．
答：（1）第一次碰撞前绝缘球的速度v₀为$\sqrt{gl}$．
（2）第一次碰撞后绝缘球的速度v₁大小为$\frac{9}{10}$$\sqrt{gl}$，方向水平向右；
（3）经过5次碰撞后绝缘球偏离竖直方向的最大角度将小于37°．

点评 本题关键求出第一次反弹后的速度和反弹后细线与悬挂点的连线与竖直方向的最大角度，然后对结果表达式进行讨论，得到第n次反弹后的速度和最大角度，再结合题意求解．