Question

13．河宽150m，船在静水中的速度是5m/s，水流速度是3m/s．（已知：cos53°=0.6，sin53°=0.8）
（1）则过河的最短时间为多少s？这时船实际位移是多大？
（2）要使船渡河位移最短，船与河岸的夹角为多少度？船渡河的时间是多少？

Answer 1

分析 （1）当静水速的方向与河岸方向垂直，此时渡河时间最短，此时船不仅参与了静水运动，还参与了水流运动，求出渡河时间，再依据运动学公式，求得实际位移．
（2）当静水速与水流速的合速度方向垂直于河岸，船将沿垂直河岸方向运动，此时位移最短，根据矢量的合成法则，可求得船与河岸的夹角，并求出船的合速度，即可求解渡河时间．

解答 解：（1）若船以最短时间渡河，则船身必须垂直河岸过河，过河时间为：t=$\frac{d}{{v}_{c}}$=$\frac{150}{5}$=30s；
船沿着水流方向的位移，x=v_st=3×30=90m；
那么这时船实际位移是s=$\sqrt{{x}^{2}+{d}^{2}}$=$\sqrt{9{0}^{2}+15{0}^{2}}$=30$\sqrt{34}$m；
（2）由于v_船＞v_水，小船可以到达正对岸，
设船与河岸的夹角为α，则有：cosα=$\frac{{v}_{s}}{{v}_{c}}$=$\frac{3}{5}$；
解得：α=53°．
船渡河的时间是t′=$\frac{d}{{v}_{合}}$=$\frac{d}{\sqrt{{v}_{c}^{2}-{v}_{s}^{2}}}$=$\frac{150}{\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}}$=37.5s；
答：（1）则过河的最短时间为30s，这时船实际位移是30$\sqrt{34}$m；
（2）要使船渡河位移最短，船与河岸的夹角为53°，船渡河的时间是37.5s．

点评 解决本题的关键知道当静水速的方向与河岸垂直时，渡河时间最短；当静水速大于水流速，静水速与水流速的合速度方向与河岸垂直时，渡河位移最小．