Question

13．天文学家通过观测双星轨道参数的变化来间接证明引力波的存在．2016年2月11日，LIGO宣布于2015年9月14日直接探测到引力波．若某双星系统中两星做圆周运动的周期为L经过一段时间演化后，两星的总质量不变，但是两星间的距离变为原来的$\frac{1}{n}$，此后双星做圆周运动的周期为（　　）

• A． $\sqrt{\frac{1}{{n}^{3}}}$T
• B． $\sqrt{\frac{1}{{n}^{2}}}$T
• C． $\sqrt{\frac{1}{n}}$T
• D． $\frac{1}{n}$T

Answer 1

分析 双星做匀速圆周运动具有相同的角速度，靠相互间的万有引力提供向心力，得到双星的周期与总质量的关系，再结合已知量分析得出结论．

解答 解：设双星质量分别为${m}_{1}^{\;}$、${m}_{2}^{\;}$，之间的距离原来是L，后来是$\frac{1}{n}L$，原来周期T，后来T′，双星靠它们之间的万有引力提供向心力
对${m}_{1}^{\;}$：$G\frac{{m}_{1}^{\;}{m}_{2}^{\;}}{{L}_{\;}^{2}}={m}_{1}^{\;}\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}{r}_{1}^{\;}$
对${m}_{2}^{\;}$：$G\frac{{m}_{1}^{\;}{m}_{2}^{\;}}{{L}_{\;}^{2}}={m}_{2}^{\;}\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}{r}_{2}^{\;}$
${r}_{1}^{\;}+{r}_{2}^{\;}=L$
解得${m}_{2}^{\;}=\frac{4{π}_{\;}^{2}{r}_{1}^{\;}{L}_{\;}^{2}}{{GT}_{\;}^{2}}$
${m}_{1}^{\;}=\frac{4{π}_{\;}^{2}{r}_{2}^{\;}{L}_{\;}^{2}}{G{T}_{\;}^{2}}$
${m}_{总}^{\;}=\frac{4{π}_{\;}^{2}{L}_{\;}^{3}}{G{T}_{\;}^{2}}$
$T=\sqrt{\frac{4{π}_{\;}^{2}{L}_{\;}^{3}}{G{m}_{总}^{\;}}}$
由题知，总质量不变，距离变为原来的$\frac{1}{n}$，周期变为原来的$\sqrt{\frac{1}{{n}_{\;}^{3}}}$
即$T′=\sqrt{\frac{1}{{n}_{\;}^{3}}}T$
故选：A

点评 解决本题的关键知道双星靠相互间的万有引力提供向心力，知道双星具有相同的周期和角速度，应用万有引力定律与牛顿第二定律即可正确解题．