Question

两个等长的单摆，一个放在地面上，一个放在高处某地．当第一个单摆振动n次的时候，第二个单摆振动n-1次．如果地球半径为R，那么，第二个单摆离地面的高度为

 

．

Answer 1

分析：根据单摆的周期公式T=2π

L g

，可求得地面与高处的重力加速度之比．根据重力等于万有引力，列式可求出第二个单摆离地面的高度．

解答：解：单摆的周期为：T=2π

L g

．
根据物体的重力等于万有引力，则有
  G

Mm

r2

=mg，
则得，g=

GM

r2

则得，T=2π

L GM r2

=2πr

L GM

，…①
式中M是地球的质量，L是单摆的摆长，r是物体到地心的距离．
由题，当第一个单摆振动n次的时候，第二个单摆振动n-1次．则两个单摆的周期之比为：T₁：T₂=（n-1）：n…②
由①得：

T1

T2

=

R

R+h

…③
联立②③得得：

R

R+h

=

n-1

n

解得，h=

R

n-1

故答案为：

R

n-1

．

点评：本题是单摆周期公式与万有引力的综合应用，它们之间联系的纽带是重力加速度g．根据重力等于万有引力，得到g=

GM

r2

，常常称为黄金代换式，要会推导．