题目内容

5．如图所示，光滑平行金属导轨MN、PQ足够长，两导轨间距为L，导轨平面的倾角为θ，导轨N、Q端连有阻值为R的定值电阻，整个装置处于磁感应强度为B的匀强磁场中，磁场方向垂直导轨平面向下，质量为m、阻值也为R的金属杆ab垂直放在导轨上，轨道的电阻不计，将杆ab由静止释放．
（1）求杆ab下滑的最大速度；
（2）若杆下滑x1的距离达到最大速度，求下滑到最大速度时，通过电阻R的电量是多少？
（3）若将杆以与（1）问中的最大速度等大的初速度从轨道的最底端向上滑去，当杆再回到轨道最底端时，回路中产生的焦耳热为Q，则杆再回到轨道最低端时的速度多大？

分析 （1）杆ab先加速下滑后匀速下滑，匀速运动时速度最大．由E=BLv、欧姆定律求出安培力与速度的关系式，再由平衡条件求出导体杆ab的最大速度．
（2）根据电量与电流的关系q=It、欧姆定律和运动学公式结合求电量．
（3）根据能量守恒定律求杆再回到轨道最低端时的速度．

解答 解：（1）设杆ab下滑的最大速度为v．
杆匀速运动时速度最大，此时ab产生的感应电动势为：E=BLv
感应电流为：I=$\frac{E}{2R}$
ab所受的安培力为 F=BIL=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{2R}$
由平衡条件得：mgsinθ=F
联立解得  v=$\frac{2mgRsinθ}{{B}^{2}{L}^{2}}$
（2）下滑到最大速度时，通过电阻R的电量 q=$\overline{I}$t=$\frac{\overline{E}}{2R}$t=$\frac{BL\overline{v}t}{2R}$=$\frac{BL{x}_{1}}{2R}$
（3）设杆再回到轨道最低端时的速度大小为v′．
对整个过程，由能量守恒定律得
  $\frac{1}{2}m{v}^{2}$=Q+$\frac{1}{2}mv{′}^{2}$
联立解得 v′=$\sqrt{\frac{4{m}^{2}{g}^{2}{R}^{2}si{n}^{2}θ}{{B}^{4}{L}^{4}}+\frac{2Q}{m}}$
答：
（1）杆ab下滑的最大速度是$\frac{2mgRsinθ}{{B}^{2}{L}^{2}}$．
（2）下滑到最大速度时，通过电阻R的电量是$\frac{BL{x}_{1}}{2R}$．
（3）杆再回到轨道最低端时的速度是$\sqrt{\frac{4{m}^{2}{g}^{2}{R}^{2}si{n}^{2}θ}{{B}^{4}{L}^{4}}+\frac{2Q}{m}}$．

点评 解决本题的关键有二：一要正确分析杆ab的运动情况，推导出安培力与速度的关系式．二是正确判断能量是如何转化，运用能量守恒定律求热量．

练习册系列答案
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