Question

（2011?浙江模拟）有一等腰直角三角形区域，直角边长为2a．在该区域，有一垂直纸面向内磁感应强度为B的匀强磁场．一束质量为m、电荷量为q，速度范围在[0，

5aqB

m

]之间的带负电粒子从中点O垂直直角边射入该磁场区域，在另一直角边放置一块足够大的荧光屏，如图所示．重力不计，求
（1）速度至少为多大的带电粒子，能够在荧光屏上留下光斑．
（2）粒子在磁场中运动的时间和速度的关系．
（3）磁场区域内，荧光屏上亮点的位置和速度的关系．
（4）荧光屏上光斑的分布区域．

Answer 1

分析：（1）根据带电粒子在磁场中运动规律求出半径，在荧光屏x=0处，对应的半径为

a

2

，此时求出的速度为最小速度；
（2）根据半径分为三种情况进行讨论，利用圆心角与周期的关系求解；
（3）根据几何关系表示出位置与半径的关系，带入半径与速度的关系即可求解；
（4）在磁场区域内，根据几何关系求出相切位置对应的半径、最远坐标、速度，再求出最大速度对应的半径，求出圆心坐标，求出圆的方程与直线方程，求出交点坐标，进而求出过交点的切线方程，当y=0时．求出，最远处的光斑坐标，从而求出荧光屏上光斑的分布区域．

解答：解：（1）根据带电粒子在磁场中运动规律，可得
Bqv=m

v2

R

求出
R=

mv

Bq

在荧光屏x=0处，对应的半径为

a

2

，粒子速度为
v1=

qBa

2m

故小于v₁ 的带电粒子不能在荧光屏上留下痕迹．
（2）当半径满足0＜R≤

a

2

时，粒子运动时间为

πm

Bq

当半径满足

a

2

＜R≤a时，由图可得
cosα=

a-R

R

，

t

T

=

π-arccos( a R -1)

2π

求出：
t=

m

qB

(π-arccos(

aqB

mv

-1))                        
当半径大于a时，由图可知
cosα=

R-a

R

求出：

t

T

=

α

2π

，
所以t=

m

qB

arccos(1-

aqB

mv

)
（3）如图，根据几何关系可知
x=

R2-(a-R)2

=

a(2R-a)

v=

qB

2ma

x2+

qBa

2m

这是一条抛物线
（4）在磁场区域内，为了求出荧光屏最远处亮点坐标．如图可得

2

R=R+a
求出相切位置对应的半径R=(

2

+1)a
对应的最远坐标为：
xm=

R2-( 2 a)2

=

2 2 +1

a
对应的速度
v2=

qBa( 2 +1)

m

在磁场区域外，最远处的坐标可以参考图示求出．
先求出最大速度对应的半径
R3=

mvm

qB

=5a
圆心坐标为（0，-4a）
圆方程为x²+（y+4a）²=（5a）² 
直线方程为 x+y=2a
解出圆与直线的交点：
（3a-

14

2

a，-a+

14

2

a）
过交点的切线方程为
y-（-a+

14

2

a）=

14 -6

14 +6

[x-(3a-

14

2

a)]
当y=0时．求出，最远处的光斑坐标为
x0=

50+ 14

11

a
所以，光斑分布区域为
[0，

2 2 +1

a]∪（2a，

50+ 14

11

a]．
答：（1）速度至少为

qBa

2m

的带电粒子，能够在荧光屏上留下光斑．
（2）粒子在磁场中运动的时间和速度的关系为当半径满足0＜R≤

a

2

时，粒子运动时间为

πm

Bq

，当半径满足

a

2

＜R≤a时t=

m

qB

(π-arccos(

aqB

mv

-1))，当半径大于a时，t=

m

qB

arccos(1-

aqB

mv

)．
（3）磁场区域内，荧光屏上亮点的位置和速度的关系为v=

qB

2ma

x2+

qBa

2m

．
（4）荧光屏上光斑的分布区域为[0，

2 2 +1

a]∪（2a，

50+ 14

11

a]．

点评：本题主要考查了带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的问题，要求同学们能画出粒子运动的轨迹，知道如何求小球在磁场中运动的时间，能熟练运用几何关系解题，难度较大，属于难题．