Question

如图所示，水平放置的平行板电容器，原来两板不带电，上极板接地，极板长L=0.1m，两板间距离d=0.4cm．有一束由相同粒子组成的带电粒子流从两板中央平行于板射入，由于重力作用，粒子能落到下板上，已知粒子质量为m=2×10^-6kg，电荷量q=1×10^-8C，电容器的电容C=10^-6F．不计带电粒子流之间的相互作用，求：
（1）为使第一个粒子能落在下板中点O到紧靠边缘的B点之间，粒子入射速度v₀应为多大？
（2）以上述速度入射的带电粒子，最多能有多少个落到下极板上？（g取10m/s²）

Answer 1

分析：（1）根据粒子做平抛运动的规律，运用运动的合成与分解，并依据运动学公式，即可求解；
（2）根据牛顿第二定律，结合电场力表达式，与运动学公式，即可求解．

解答：解：（1）第一个粒子在极板间做平抛运动，即
水平位移：x=v₀t①
竖直位移：

d

2

=

1

2

gt2②
由①、②得x=v0

d g

为使第一粒子能落在下板中点O到紧靠边缘的B点之间，x必须满足

L

2

≤x≤L
∴

L

2

≤v0

d g

≤L

L

2

g d

≤v0≤L

g d

即：2.5m/s≤v₀≤5m/s
（2）设以上述速度入射的带电粒子，最多能有n个落到下极板上．则第（n+1）个粒子的加速度为a，
由牛顿运动定律得
mg-qE=ma③
其中E=

U

d

=

Q

Cd

=

nq

Cd

④
由③、④得a=g-

nq2

Cmd

⑤
第（n+1）粒子做匀变速曲线运动

x=v0t=L y= 1 2 at2

∴y=

1

2

(g-

nq2

Cmd

)(

L

v0

)2
第（n+1）粒子不落到极板上，则y≤

d

2

∴ 1 2 (g- nq2 Cmd )( L v0 )2≤ d 2 n= Cmd q2 (g- v 2 0 L2 d)=600(个)

答：（1）为使第一个粒子能落在下板中点O到紧靠边缘的B点之间，粒子入射速度v₀应为2.5m/s≤v₀≤5m/s；
（2）以上述速度入射的带电粒子，最多能有600个落到下极板上．

点评：考查如何处理平抛运动的思路，掌握运动的合成与分解的方法，理解运动学公式与牛顿第二定律的综合应用．