Question

11．如图所示，电阻可以忽略不计的两根金属导轨与水平面成α=37°角固定，两导轨彼此平行，表面光滑，上端接有阻值为R=3.0Ω的定值电阻．在水平虚线L₁、L₂之间存在与导轨所在平面垂直的匀强磁场B、磁场区域的宽度为d=0.50m．导体棒a的质量m_a=0.20kg，电阻R_a=3.0Ω；导体棒b的质量m_b=0.10kg，电阻R_b=6.0Ω．两导体棒与导轨垂直．现让它们分别从图中M、N位置同时由静止开始沿导轨无摩擦向下滑动，并且恰好都能匀速穿过磁场区域，当b刚穿出磁场时a正好进入磁场．不计a、b之间的相互作用，整个运动过程中a、b棒始终与金属导轨接触良好．取重力加速度为g=10m/s²．sin37°=0.60，cos37°=0.80．试求：
（1）下滑过程中，安培力分别对a、b两棒做的功；
（2）a、b两棒进入磁场时的速度大小之比；
（3）a、b两棒从开始下滑到穿出磁场各经历的时间．

Answer 1

分析 （1）导体棒进入磁场都能做匀速直线运动，安培力等于重力沿斜面方向的分力，分别求出a、b两棒克服安培力的功．
（2）两棒匀速穿越磁场的过程中，安培力等于重力的分力．a棒匀速通过时，a棒相当于电源，求出总电阻，b棒匀速通过时，b棒相当于电源，求出总电阻．根据BIL=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{{R}_{总}}$=mgsinθ，求出速度比．
（3）两棒进入磁场前做匀加速直线运动，进入磁场后做匀速直线运动，分别由运动学的公式即可求出时间．

解答 解：（1）根据在磁场中运动受力平衡得：F_a=m_agsin37°
a棒克服安培力做的功为：W_a=-m_agdsin37°=-0.60J．
同理 W_b=m_bgdsin37°=-0.30J
（2）设ab进入磁场的速度分别是v_a和v_b，
在a穿越磁场的过程中，a是电源，b与R是外电路，E_a=BLv_a，${R}_{外1}=\frac{R•{R}_{b}}{R+{R}_{b}}=\frac{3.0×6.0}{3.0+6.0}Ω=2$Ω
通过a棒的电流：${I}_{a}=\frac{{E}_{a}}{{R}_{a}+{R}_{外1}}$
a棒受到的安培力：F_a=BI_a•L
根据力的平衡得：F_a=m_agsin37°
即：${m}_{a}gsin37°=\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{a}}{{R}_{a}+{R}_{外1}}$   ①
在b穿越磁场的过程中，b是电源，a与R是外电路；E_b=BLv_b，${R}_{外2}=\frac{R•{R}_{a}}{R+{R}_{a}}=\frac{3.0×3.0}{3.0+3.0}Ω=1.5$Ω
通过b棒的电流：${I}_{b}=\frac{{E}_{b}}{{R}_{b}+{R}_{外2}}$
b棒受到的安培力：F_b=BI_b•L
根据力的平衡得：F_b=m_bgsin37°
即：${m}_{b}gsin37°=\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{b}}{{R}_{b}+{R}_{外2}}$    ②
由①②两式相比得：$\frac{{v}_{a}}{{v}_{b}}=\frac{4}{3}$   ③
（3）两棒没有进入磁场前的加速度：a=gsin37°=10×0.6m/s²=6m/s²④
a进磁场时，b出磁场，所以时间关系：$\frac{{v}_{a}}{a}=\frac{{v}_{b}}{a}+\frac{d}{{v}_{b}}$     ⑤
由③④⑤，并代入数据得：v_a=4m/s，v_b=3m/s
所以：${t}_{a}=\frac{{v}_{a}}{a}+\frac{d}{{v}_{a}}=\frac{4}{6}+\frac{0.50}{4}≈0.79$s
${t}_{b}=\frac{{v}_{b}}{a}+\frac{d}{{v}_{b}}=\frac{3}{6}+\frac{0.5}{3}≈0.67$s
答：（1）下滑过程中，安培力分别对a、b两棒做的功为-0.60J和-0.30J；
（2）a、b两棒进入磁场时的速度大小之比是4：3；
（3）a、b两棒从开始下滑到穿出磁场各经历的时间分别是0.79s和0.67s．

点评 解决本题的关键能够正确地对a、b棒进行受力分析，根据受力情况判断物体的运动情况．以及知道在匀速运动时，安培力等于重力沿斜面方向的分力．