Question

6．如图所示，xoy在竖直平面内，x轴下方有匀强电场和匀强磁场，电场强度大小为E，方向竖直向下；磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里．现将一个带电小球从y轴上P（0，h）点由静止下落．小球穿过x轴后，恰好做匀速圆周运动．不计空气阻力，已知重力加速度为g．求：
（1）判断小球带正电还是带负电；
（2）小球做圆周运动的半径；
（3）小球从P点出发，运动到x轴下方距y轴2.5r的某点Q（图中未标出）所用的时间．

Answer 1

分析 （1）小球恰好做匀速圆周运动，则重力与电场力大小相等、方向相反，据此判断小球的电性
（2）由洛伦兹力提供向心力，结合牛顿第二定律列方程得到半径
（3）粒子在磁场中的轨迹是半圆，离开磁场后做竖直上抛运动，进入磁场后再次做匀速圆周运动，找到

解答 解：画出小球运动的轨迹示意图
（1）小球穿过x轴后恰好做匀速圆周运动，有：
qE=mg
方向竖直向上，故小球带负电；
（2）设小球经过O点时的速度为v，从P到O由匀变速运动规律得：
v²=v₀²+2gh
解得：
v=$\sqrt{2gh}$
从O到A，根据牛顿第二定律，有：
qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$
解得：
r=$\frac{mv}{qB}$=$\frac{m\sqrt{2gh}}{qB}$
（3）P到O时间：${t}_{1}=\sqrt{\frac{2h}{g}}$；
O到A时间：${t}_{2}=\frac{T}{2}=\frac{πm}{qB}$；
从A出发到回到A的时间：t₃=2t₁=2$\sqrt{\frac{2h}{g}}$；
从A到Q时间：${t}_{4}=\frac{60°}{360°}T=\frac{T}{6}=\frac{πm}{3qB}$；
故t=t₁+t₂+t₃+t₄=3$\sqrt{\frac{2h}{g}}$+$\frac{4πm}{3qB}$；
答：（1）小球带负电；
（2）小球做圆周运动的半径为$\frac{m\sqrt{2gh}}{qB}$；
（3）小球从P点出发，运动到x轴下方距y轴2.5r的某点Q所用的时间为3$\sqrt{\frac{2h}{g}}$+$\frac{4πm}{3qB}$．

点评 挖掘出小球恰好做匀速圆周运动的隐含条件为：重力与电场力大小相等、方向相反；将小球的运动分为直线运动和匀速圆周运动进行分析．