Question

如图所示，半径为R的光滑半圆环轨道竖直固定在一水平光滑的桌面上，在桌面上轻质弹簧被a、b两个小球挤压（小球与弹簧不拴接），处于静止状态．同时释放两个小球，小球a、b与弹簧在桌面上分离后，a球从B点滑上光滑半圆环轨道最高点A时速度为vA=

2gR

．已知小球a质量为m，小球b质量为2m，重力加速度为g．求：
（1）小球a在圆环轨道最高点对轨道的压力；
（2）释放后小球b离开弹簧时的速度v_b的大小；
（3）释放小球前弹簧具有的弹性势能．

Answer 1

分析：（1）小球a在圆环轨道最高点受到重力和轨道的弹力，由两个力的合力提供向心力，由牛顿第二定律求解轨道对小球的弹力，由牛顿第三定律得到小球对轨道的压力．
（2）小球a从B运动到A的过程中，只有重力做功，机械能守恒，求出小球a与弹簧分离时的速度大小v_a，根据动量守恒定律求解球b离开弹簧时的速度v_b的大小．
（3）释放小球过程，弹簧的弹性势能转化为两球的动能，由机械能守恒定律求解释放小球前弹簧具有的弹性势能．

解答：解：（1）设a球通过最高点时受轨道的弹力为N，由牛顿第二定律得
  mg+N=

m v 2 A

R

  ①
将数据代入①式解得：N=mg ②
由牛顿第三定律，a球对轨道的压力为mg，方向竖直向上．
（2）设小球a与弹簧分离时的速度大小为v_a，取桌面为零势面，小球a从B运动到A的过程中，由机械能守恒定律得：
 

1

2

m

v

2 a

=

1

2

m

v

2 A

+mg2R③
由③式解得  va=

6gR

④
小球a、b从释放到与弹簧分离过程中，总动量守恒mv_a=2mv_b⑤
由⑤式解得：vb=

6gR

2

⑥
（3）弹簧的弹性势能为：E_P=

1

2

m

v

2 a

+

1

2

mb

v

2 b

  ⑦
由⑦式解得：E_P=4.5mgR⑧
答：（1）小球a在圆环轨道最高点对轨道的压力大小为mg，方向竖直向上；
（2）释放后小球b离开弹簧时的速度v_b的大小为

6gR

；
（3）释放小球前弹簧具有的弹性势能是4.5mgR．

点评：本题物理过程很清晰，对于释放弹簧的过程，动量守恒，机械能也守恒，小球a沿轨道向上滑行过程，机械能守恒．把握解题是关键．