题目内容

4．如图，质量为M的滑块B套在光滑的水平杆上可自由滑动，质量为m的小球A用一长为L的轻杆通过铰链与B上的O点相连接，可绕O点在竖直平面内自由转动，开始时轻杆处于水平位置．
（1）固定滑块B，给小球A一竖直向上的初速度，使轻杆绕O点转过90°，则小球初速度的最小值是多少？
（2）不固定滑块B，若M=2m，给小球A一竖直向上的初速度v0，则当A球运动至最高点，使轻杆绕O点转过90°时，滑块B的速度多大？
（3）在上述情况（2）中，则当A球运动至最高点时，滑块B向左运动了多远？

分析 （1）小球A连着的是轻杆，根据牛顿第二定律求出通过最高点的临界速度，由机械能守恒定律求解小球初速度的最小值．
（2）滑块B不固定时，A、B组成的系统水平方向所受的合力为零，根据水平方向动量守恒和机械能守恒定律求解．
（3）根据水平方向动量守恒，用位移与时间之比表示平均速度，根据平均动量守恒求解．

解答 解：（1）小球A连着的是轻杆，所以能通过最高点的条件为：v1≥0
由机械能守恒定律得
 $\frac{1}{2}$mv02=mgL+$\frac{1}{2}$mv12
所以 v0≥$\sqrt{2gL}$，即小球初速度得最小值是$\sqrt{2gL}$
（2）滑块B不固定时，A、B组成的系统水平方向所受的合力为零，所以水平方向动量守恒．设A运动到最高点时A、B的速度分别为vA、vB，
取向右为正方向，由动量守恒和机械能守恒定律得
  mvA-MvB=0
 $\frac{1}{2}$mv02=mgL+$\frac{1}{2}$mvA2+$\frac{1}{2}$MvB2
又 M=2m
解方程组得 vB=$\sqrt{\frac{{v}_{0}^{2}-2gL}{6}}$
（3）当A球运动至最高点时，设滑块B向左运动了距离x．则A相对于地向右运动了距离L-x．
根据水平方向平均动量守恒定律得：
  mvA-MvB=0
即得 m$\frac{L-x}{t}$-M$\frac{x}{t}$=0
解得 x=$\frac{mL}{M+m}$
答：
（1）小球初速度的最小值是$\sqrt{2gL}$．
（2）当轻杆绕O点转过90°A球运动至最高点时，B球的速度是$\sqrt{\frac{{v}_{0}^{2}-2gL}{6}}$．
（3）当A球运动至最高点时，滑块B向左运动了$\frac{mL}{M+m}$．

点评 本题综合考查了动量守恒定律、机械能守恒定律，要清楚物体的运动过程，明确杆系小球到达最高点的临界速度为零．第3小题．利用平均动量守恒求B的位移是常用的思路．

练习册系列答案
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