下暴雨时.有时会发生山体滑坡或泥石流等地质灾害．某地有一倾角为θ=37°(sin37°=$\frac{3}{5}$)的山坡C.上面有一质量为m的石板B.其上下表面与斜坡平行,B上有一碎石堆A.A和B均处于静止状态.如图所示．假设某次暴雨中.A浸透雨水后总质量也为m.在极短时间内.A.B间的动摩擦因数μ1减小为$\frac{3}{8}$.B.C间的动摩擦因数� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

5．

下暴雨时，有时会发生山体滑坡或泥石流等地质灾害．某地有一倾角为θ=37°（sin37°=$\frac{3}{5}$）的山坡C，上面有一质量为m的石板B，其上下表面与斜坡平行；B上有一碎石堆A（含有大量泥土），A和B均处于静止状态，如图所示．假设某次暴雨中，A浸透雨水后总质量也为m（可视为质量不变的滑块），在极短时间内，A、B间的动摩擦因数μ₁减小为$\frac{3}{8}$，B、C间的动摩擦因数μ₂减小为0.5，A、B开始运动，此时刻为计时起点；在第2s末，B的上表面突然变为光滑，μ₂保持不变．已知A开始运动时，A离B下边缘的距离l=27m，C足够长，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力．取重力加速度大小g=10m/s²．求：
（1）在0～2s时间内A和B加速度的大小
（2）A在B开始运动到A离开B时B的位移．

分析（1）对A、B受力分析，根据牛顿第二定律可以求出加速度的大小；
（2）求出2s后A、B的加速度，得出A、B的运动规律，结合运动学公式求出A离开B时B的位移．

解答解：（1）在0～2s时间内，A和B的受力如图所示，
其中f₁、N₁是A与B之间的摩擦力和正压力的大小，f₂、N₂是B与C之间的摩擦力和正压力的大小，方向如图所示．
由滑动摩擦力公式和力的平衡条件得
f₁=μ₁N₁…①
N₁=mgcosθ…②
f₂=μ₂N₂…③
N₂=N₁+mgcosθ…④
规定沿斜面向下为正，设A和B的加速度分别为a₁和a₂，由牛顿第二定律得：
mgsinθ-f₁=ma₁…⑤
mgsinθ+f₁-f₂=ma₂…⑥
联立①②③④⑤⑥式，并代入题给的条件得：
a₁=3m/s²…⑦
a₂=1m/s²…⑧
（2）在t₁=2s时，设A和B的速度分别为v₁和v₂，则有：
v₁=a₁t₁=6m/s…⑨
v₂=a₂t₁=2m/s…⑩
t＞t₁时，设A和B的加速度分别为a₁′和a₂′，此时A与B之间摩擦力为零，同理可得：
a₁′=6m/s²…⑪
a₂′=-2m/s²…⑫
即B做减速运动．设经过时间t₂，B的速度减为零，则有：
v₂+a₂′t₂=0…⑬
联立⑩⑫⑬式得：
t₂=1s
在t₁+t₂时间内，A相对于B运动的距离为：
s=$（\frac{1}{2}{a}_{1}{{t}_{1}}^{2}+{v}_{1}{t}_{2}+\frac{1}{2}{a}_{1}{{t}_{2}}^{2}）$$-（\frac{1}{2}{a}_{2}{{t}_{1}}^{2}+{v}_{2}{t}_{2}+\frac{1}{2}{a}_{2}′{{t}_{2}}^{2}）$
代入数据解得：s=12m＜27m
此后B静止不动，A继续在B上滑动．设再经过时间t₃后A离开B，则有：
l-s=$（{v}_{1}+{a}_{2}′{t}_{2}）{t}_{3}+\frac{1}{2}{a}_{1}′{{t}_{3}}^{2}$可得：
t₃=1s，
则B的位移为：X=$\frac{1}{2}{a}_{2}{{t}_{1}}^{2}+{v}_{2}{t}_{2}+\frac{1}{2}{a}_{2}′{{t}_{2}}^{2}$=$\frac{1}{2}×1×4+2×1-\frac{1}{2}×2×1m=3m$．
答：
（1）在0～2s时间内A和B加速度的大小分别为3m/s²和1m/s²；
（2）A在B开始运动到A离开B时B的位移为3m．

点评本题是对牛顿第二定律和运动学公式的综合的应用，分析清楚物体的运动的情况和受力的情况，根据运动学的公式来求解，本题的难度比较大．

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