Question

湖南省电视台“智勇大冲关”游乐节目中，选手需要借助悬挂在高处的绳飞越到水面的浮台上，小明和小阳观看后对此进行了讨论．如图所示，他们将选手简化为质量m=60kg的质点，选手抓住绳子末端由静止开始摆动，此时绳与竖直方向夹角α=53°，绳长l=2m的悬挂点O距水面的高度为H=3m．不考虑空气阻力和绳的质量，浮台露出水面的高度不计，水足够深．取g=10m/s²（sin53°=0.8，cos53°=0.6）．求：
（1）选手摆到最低点时对绳拉力的大小F；
（2）选手摆到右边最高点时松手，设水对选手的平均浮力f₁=800N，平均阻力f₂=700N，求选手落入水中的深度d；
（3）若要求选手摆到最低点时松手，且运动到浮台处离岸水平距离最大，则选手实际的摆线长度l₁应为多少？

Answer 1

分析：（1）、在摆动过程中，机械能是守恒的，应用机械能守恒定律求出运动到最低点时的速度．再用牛顿运动定律结合圆周运动的向心力求出绳子对选手的拉力，最后用牛顿第三定律求出选手对绳子的拉力．
（2）、对从选手开始下落，到进入水后速度为零的过程中，由贯穿整个过程的重力做正功，进入水后，浮力和阻力最选手做负功，选手初末状态的动能都为零，用动能定理列式，求出落入水中的深度．
（3）、对平抛运动沿水平和竖直两个方向进行分解，水平方向上是匀速直线运动，竖直方向上时自由落体运动，分别列出位移式子，联立后进行数学分析，得出当l=1.5m时，水平方向由最大值．

解答：解：（1）选手从最高点摆到最低点的过程中，由机械能守恒：
mgl(1-cosα)=

1

2

mv2
在最低点：T-mg=m

v2

l

联立上两式解得：T=1080N
（2）选手从右边最高点开始作自由落体运动，然后再进入水中，由动能定理：mg（H-lcosα+d）-（f₁+f₂）d=0-0
解得：d=1.2m
（3）设选手摆动时的摆长为l₁，则mgl1(1-cosα)=

1

2

mv12
所以得：v1=

2gl1(1-cosα)

当选手在作平抛运动时，在竖直方向上：H-l1=

1

2

g

t

2

；
解得：t=

2(H-l1) g

在水平方向上：x=v1t=

2gl1(1-cosα) 2(H-l1) g

=2

l1(1-cosα)(H-l1)

=2

0.4l1(3-l1)

所以，当l₁=1.5m时选手摆到最低点松手，运动到浮台处离岸水平距离最大．
答：（1）选手摆到最低点时对绳拉力的大小F为1080N；
（2）选手落入水中的深度d为1.2m；
（3）当l₁=1.5m时选手摆到最低点松手，运动到浮台处离岸水平距离最大．

点评：本题考查到了机械能守恒，圆周运动向心力，动能定理，平抛运动规律及求极值问题．
解答第一问时，一定注意要求的是选手对绳子的拉力．解题过程中是对选手进行受力分析的，故不要忘记应用牛顿第三定律．应用动能定理解答第二问时，要注意，重力做功贯穿整个过程，而浮力和阻力做功只是在水中时．关于物理当中的极值问题，要会熟练的对式子进行数学分析，从而得出结论．