Question

20．如图所示是一个半球形透明物体的侧视图，现在有一细束单色光沿半径OA方向入射，保持入射方向不变，不考虑光线在透明物体内部的反射．
（i）将细光束平移到距O点$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$R处的c点，此时透明体左侧恰好不再有光线射出，求透明体对该单色光的折射率；
（ii）若细光束平移到距0点 0.5R 处，求出射光线与0A轴线的交点距0点的距离？

Answer 1

分析 （i）透明体左侧恰好不再有光线射出时，光线发生了全反射，画出光路图，由几何关系求解临界角，从而由公式n=$\frac{1}{sinC}$求解折射率．
（ii）光束由D点水平射入，在E点发生折射，由折射定律求出折射角，再由几何知识求解．

解答 解：（i）如图所示，光束由C处水平射入，在B处发生全反射，∠OBC为临界角
由临界角公式：sinC=$\frac{{\frac{{\sqrt{3}}}{3}R}}{R}=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$ ①
解得：n=$\frac{1}{sinC}$=$\sqrt{3}$ ②
（ii）如图所示，光束由D点水平射入，在E点发生折射，
入射角为∠OED=α，折射角为∠NEF=β，
折射率n=$\frac{sinβ}{sinα}=\sqrt{3}$ ③
sinα=$\frac{{\frac{1}{2}R}}{R}=\frac{1}{2}$ ④
由①②解得：sinβ=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，β=60°    ⑤
由几何关系可知：∠FOE=α，⑥
∠OFE=β-α=α，⑦
则出射光线与OA轴线的交点F与O点的距离为：OF=2Rcos30°=$\sqrt{3}$R     
答：
（i）透明体对该单色光的折射率是$\sqrt{3}$；
（ii）出射光线与0A轴线的交点距0点的距离是$\sqrt{3}$R．

点评 解决本题的关键作出光路图，灵活运用数学知识，结合折射定律进行求解．