Question

20．如图1，用同种材料制成倾角为θ=30°的斜面和长水平面，斜面长3m且固定，斜面与水平面之间有一段很小的弧形平滑连接．一小物块从斜面顶端以初速度为v₀沿斜面向下滑动，若初速度v₀=2m/s，小物块运动2s后停止在斜面上．减小初始速度v₀，多次进行实验，记录下小物块从开始运动到最终停止在斜面上的时间t，作出相应的速度--时间图象如图2所示．（已知g=10m/s²）求：
（1）小物块在斜面上下滑的加速度大小和方向；
（2）小物块与该种材料间的动摩擦因数；
（3）某同学认为，若小物块初速度v₀=3m/s，则根据图象可以推断出小物块从开始到最终停止的时间为3s．以上说法是否正确？若正确，请给出推导证明；若不正确，请说明理由，并解出正确的结果．

Answer 1

分析 （1）物体做匀减速直线运动，加速度方向沿斜面向上．根据相应的t-v₀图象求出加速度的大小．
（2）根据牛顿第二定律，运用正交分解求出动摩擦因数的大小．
（3）不正确．因为随着初速度v₀的增大，小物块会滑到水平面上，规律将不再符合图象中的正比关系．根据匀变速直线运动的速度位移公式求出物体滑动底端的速度，从而根据匀变速直线运动的速度时间公式求出在斜面上运行的时间．根据牛顿第二定律求出物体在水平面上的加速度，根据速度时间公式求出在水平面上运动的时间，从而求出总时间．

解答 解：（1）由图象的斜率等于加速度，可得，加速度为 a=$\frac{{v}_{0}}{t}$=$\frac{2}{2}$=1m/s²，方向沿斜面向上；
（2）物块所受的滑动摩擦力大小为 F_f=μmgcosθ，
由牛顿第二定律得：μmgcosθ-mgsinθ=ma
解得：μ=$\frac{2\sqrt{3}}{5}$；
（3）不正确．因为随着初速度v₀的增大，小物块会滑到水平面上，
规律将不再符合图象中的正比关系，
设小物块在斜面上滑行位移x₁=3m时的速度减为v₁，
v₀²-v₁²=2ax₁，解得：v₁=$\sqrt{3}$m/s，
v₁=v₀-at₁，小物块在斜面上滑行时间 t₁=$\frac{{v}_{0-}{v}_{1}}{a}$=（3-$\sqrt{3}$）s，
小物块在水平面上滑行，牛顿第二定律：μmg=ma′，解得  a′=4$\sqrt{3}$m/s²，
小物块在水平面上滑行时间v₁=a′t₂，解得：t₂=0.25s，
运动总时间 t_总=t₁+t₂=（3-$\sqrt{3}$+0.25）s=（3.25-$\sqrt{3}$）s；
答：
（1）小物块在斜面上下滑的加速度大小为1m/s²，方向沿斜面向上；
（2）小物块与该种材料间的动摩擦因数μ是$\frac{2\sqrt{3}}{5}$；
（3）不正确，运动总时间为（3.25-$\sqrt{3}$）s．

点评 解决本题的关键能够正确地受力分析，运用牛顿第二定律和运动学公式联合求解．要知道v-t图象的斜率表示加速度．