Question

空间中存在方向垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，一带电量为+q、质量为m的粒子，在P点以某一初速开始运动，初速方向在图中纸面内如图中P点箭头所示．该粒子运动到图中Q点时的速度方向与P点时速度方向垂直，如图中Q点箭头所示．已知P、Q间的距离为l．若保持粒子在P点时的速度不变，而将匀强磁场换成匀强电场，电场方向与纸面平行且与粒子在P点时速度方向垂直，在此电场作用下粒子也由P点运动到Q点．不计重力．求：
（1）电场强度的大小．
（2）两种情况中粒子由P运动到Q点所经历的时间之差．

Answer 1

分析：（1）已知入射速度方向和出射速度方向，由于速度方向始终沿切线方向，故速度方向必与半径垂直，过P点做入射速度的垂线，再过Q点做出射速度的垂线，两垂线交与一点O，则O即是该粒子运动轨迹的圆心．粒子运动了

1

4

周，所以PO=QO=R，R为粒子运动半径．又PQ=l，所以R=

l

2

（定圆心、找半径）
粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力充当向心力，故有qv0B=m

v 2 0

R

，由上述两式可以求出入射速度v₀．
把磁场换成与纸面平行且垂直于入射速度v₀的电场后，粒子在电场中做类平抛运动，粒子运动到Q点的水平位移x=v0t=R=

l

2

，竖直位移y=

1

2

×

qE

m

×t2=R=

l

2

，代入数据即可求解．
（2）由题意知粒子在磁场中由P运动到Q用了

1

4

周期．轨迹为

1

4

圆周．

解答：解：（1）粒子在磁场中做匀速圆周运动，以v₀表示粒子在P点的初速度，R表示圆周半径，则有   qv0B=m

v 2 0

R

…①
由于粒子在Q点的速度垂直于它在4P点时的速度，可知粒子由P点到Q点的轨迹是圆周的

1

4

，
故有         R=

l

2

…②
联立①②得：v0=

qlB

2 m

…③
在电场中粒子做类平抛运动，分别以x、y、E、a、t_E表示射程、偏转位移、电场强度，加速度和运动时间，
则：
            qE=ma…④
垂直v₀方向 y=R=

1

2

a

t

2 E

…⑤
沿v₀方向   x=R=v₀t_E…⑥
联立②③④⑤⑥各式可解得：E=

2

qlB2

m

  
电场强度的大小为：E=

2

qlB2

m

；
（2）由分析知粒子在磁场中由P运动到Q点所经历的时间t_B为

1

4

周期，
故：tB=

1

4

T=

1

4

2πR

v0

=

π

2

m

qB

在电场中由P运动到Q点所经历的时间tE=

R

v0

=

m

qB

由P运动到Q点所经历的时间之差   tB-tE=(

π

2

-1)

m

qB

两种情况中粒子由P运动到Q点所经历的时间之差为(

π

2

-1)

m

qB

点评：带电粒子在垂直磁场射入，粒子将做匀速圆周运动，对于此类问题一般是依照“找圆心，定半径，求时间“来解决．