Question

13．在光滑水平面上，有一质量M₁=10kg的小车通过一根不可伸长的轻绳与另一质量M₂=15kg的拖车相连接，一质量M₃=5kg的物体放在拖车的平板上，物体与拖车平板间的动摩擦因数μ=0.2．开始时，拖车静止，绳未被拉紧，如图所示，开始时小车以v₀=3m/s的速度匀速前进时，求物体在拖车平板上移动的距离s．（设平板足够长，g取10m/s²）

Answer 1

分析 将小车、拖车和物体三个物体看成一系统，在水平方向上动量守恒，根据动量守恒定律求出三者一起运动的速度大小．
轻绳从伸直到拉紧的时间极短，在此过程中，小车与拖车在水平方向上动量守恒，根据动量守恒求出小车和拖车的共同速度，然后物体在拖车上发生相对滑动，根据动能定理求出拖车和小车整体与物体的位移，从而求出它们的相对位移．

解答 解：选取向右为正方向，由小车、拖车和物体三者水平方向动量守恒：
m₁v₀=（m₁+m₂+m₃）u，
得三者一起运动的速度大小为：$u=\frac{{m}_{1}}{{m}_{1}+{m}_{2}+{m}_{3}}{v}_{0}=\frac{20}{20+25+15}×3$=1m/s．
小车向前运动时，轻绳将逐渐伸直．因为轻绳从伸直到拉紧的时间极短，在这极短时间内绳中产生的张力远大于物体对拖车的摩擦力，可以认为仅是小车与拖车间发生了相互作用．对小车与拖车由水平方向动量守恒：
m₁v₀=（m₁+m₂）v₁₂，
得绳刚拉紧时两者的共同速度为：
${v}_{12}=\frac{{m}_{1}}{{m}_{1}+{m}_{2}}{v}_{0}=\frac{20}{20+25}×3=\frac{4}{3}m/s$


此后，由于物体和拖车间形成了相对速度，拖车对物体产生摩擦力f（f=μm₃g），使物体向前（与v₁₂同向）作加速运动，物体对拖车的摩擦力f′（f′=f）使拖车（包括小车）作减速运动，直至物体和拖车（包括小车）以共同速度u运动．在这个过程中，设拖车（包括小车）对地面的位移为s₂，物体对地面的位移为s3，对拖车位移为d，如图所示．根据动能定理，对拖车和小车：
$-f′{s}_{2}=\frac{1}{2}（{m}_{1}+{m}_{2}）{u}^{2}-\frac{1}{2}（{m}_{1}+{m}_{2}）{{v}_{12}}^{2}$
即：$μ{m}_{3}g{s}_{2}=\frac{1}{2}（{m}_{1}+{m}_{2}）（{{v}_{12}}^{2}-{u}^{2}）$
对物体有：$f{s}_{3}=\frac{1}{2}{m}_{3}{u}^{2}$
即：$μ{m}_{3}g{s}_{3}=\frac{1}{2}{m}_{3}{u}^{2}$
由此解得拖车和物体的位移分别为：
${s}_{2}=\frac{（{m}_{1}+{m}_{2}）（{{v}_{12}}^{2}-{u}^{2}）}{2μ{m}_{3}g}$=$\frac{（20+25）（\frac{16}{9}-1）}{2×0.20×15×10}m=\frac{7}{12}m$．
${s}_{3}=\frac{{u}^{2}}{2μg}=\frac{1}{2×0.20×10}m=\frac{1}{4}m$．
所以，物体在拖车平板上移动的距离为：d=${s}_{2}-{s}_{3}=\frac{7}{12}-\frac{1}{4}m=\frac{1}{3}m≈0.33m$．
答：物体在拖车平板上移动的距离为0.33m．

点评 本题综合运用了动量守恒定律、动能定理等知识点，综合性强，关键要合理地选择研究的系统，研究的过程，运用合适的定律进行求解．