题目内容
（2013?安徽）如图所示，质量为M倾角为α的斜面体（斜面光滑且足够长）放在粗糙的水平地面上，底部与地面的动摩擦因数为μ，斜面顶端与劲度系数为k、自然长度为l的轻质弹簧相连，弹簧的另一端连接着质量为m的物块．压缩弹簧使其长度为| 3 | 4 |
（1）求物块处于平衡位置时弹簧的长度；
（2）选物块的平衡位置为坐标原点，沿斜面向下为正方向建立坐标轴，用x表示物块相对于平衡位置的位移，证明物块做简谐运动；
（3）求弹簧的最大伸长量；
（4）为使斜面始终处于静止状态，动摩擦因数μ应满足什么条件（假设滑动摩擦力等于最大静摩擦力）？
分析：（1）物体平衡时，受重力、支持力和弹簧的弹力，三力平衡，根据平衡条件并结合正交分解法和胡克定律列式求解；
（2）简谐运动的回复力满足F=-kx形式；
（3）简谐运动具有对称性，先求解出振幅，然后确定最大伸长量；
（4）当滑块处于任意位移x处时，能保持静止即可，对斜面体受力分析后根据平衡条件列式求解，然后将最大位移打入即可．
（2）简谐运动的回复力满足F=-kx形式；
（3）简谐运动具有对称性，先求解出振幅，然后确定最大伸长量；
（4）当滑块处于任意位移x处时，能保持静止即可，对斜面体受力分析后根据平衡条件列式求解，然后将最大位移打入即可．
解答：解：（1）物体平衡时，受重力、支持力和弹簧的弹力，根据平衡条件，有：
mgsinα=k?△x
解得：△x=
故弹簧的长度为l+
；
（2）物体到达平衡位置下方x位置时，弹力为：k（x+△x）=k（x+
）；
故合力为：F=mgsinα-k（x+
）=-kx；
故物体做简谐运动；
（3）简谐运动具有对称性，压缩弹簧使其长度为
l时将物块由静止开始释放，故其振幅为：
A=
l+△x=
l+
；
故其最大伸长量为：A+△x=(
l+
)+
=
+
；
（4）设物块位移x为正，斜面体受重力、支持力、压力、滑动摩擦力、静摩擦力，如图
根据平衡条件，有：
水平方向：f+FN1sinα-Fcosα=0
竖直方向：FN2-Mg-FN1cosα-Fsinα=0
又有：F=k（x+△x），FN1=mgcosα
联立可得：f=kxcosα，FN2=Mg+mg+kxsinα
为使斜面体保持静止，结合牛顿第三定律，应该有|f|≤μFN2，所以
μ≥
=
当x=-A时，上式右端达到最大值，于是有：
μ≥
答：（1）物块处于平衡位置时弹簧的长度为l+
；
（2）证明如上；
（3）弹簧的最大伸长量为
+
；
（4）为使斜面始终处于静止状态，动摩擦因数μ应满足的条件为：μ≥
．
mgsinα=k?△x
解得：△x=
| mgsinα |
| k |
故弹簧的长度为l+
| mgsinα |
| k |
（2）物体到达平衡位置下方x位置时，弹力为：k（x+△x）=k（x+
| mgsinα |
| k |
故合力为：F=mgsinα-k（x+
| mgsinα |
| k |
故物体做简谐运动；
（3）简谐运动具有对称性，压缩弹簧使其长度为
| 3 |
| 4 |
A=
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 4 |
| mgsinα |
| k |
故其最大伸长量为：A+△x=(
| 1 |
| 4 |
| mgsinα |
| k |
| mgsinα |
| k |
| l |
| 4 |
| 2mgsinα |
| k |
（4）设物块位移x为正，斜面体受重力、支持力、压力、滑动摩擦力、静摩擦力，如图
根据平衡条件，有：
水平方向：f+FN1sinα-Fcosα=0
竖直方向：FN2-Mg-FN1cosα-Fsinα=0
又有：F=k（x+△x），FN1=mgcosα
联立可得：f=kxcosα，FN2=Mg+mg+kxsinα
为使斜面体保持静止，结合牛顿第三定律，应该有|f|≤μFN2，所以
μ≥
| |f| |
| FN2 |
| k|x|cosα |
| Mg+mg+kxsinα |
当x=-A时，上式右端达到最大值，于是有：
μ≥
| (kL+4mgsinα)cosα |
| 4Mg+4mgcos2α-kLsinα |
答：（1）物块处于平衡位置时弹簧的长度为l+
| mgsinα |
| k |
（2）证明如上；
（3）弹簧的最大伸长量为
| l |
| 4 |
| 2mgsinα |
| k |
（4）为使斜面始终处于静止状态，动摩擦因数μ应满足的条件为：μ≥
| (kl+4mgsinα)cosα |
| 4Mg+4mgcos2α-klsinα |
点评：本题关键是先对滑块受力分析，然后根据牛顿第二定律列式分析；最后对斜面体受力分析，确定动摩擦因素的最小值，难题．
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