Question

如图是建筑工地上常用的一种“深穴打夯机”示意图，电动机带动两个滚轮匀速转动将夯杆从深坑提上来，当夯杆底端刚到达坑口时，两个滚轮彼此分开，夯杆在自身重力作用下，落回深坑，夯实坑底．然后两个滚轮再次压紧，夯杆被提上来，如此周而复始．已知两个滚轮边缘的线速度恒为v=4m/s，滚轮对夯杆的正压力F_N=2×10⁴N，滚轮与夯杆间的动摩擦因数为0.3，夯杆质量m=1×10³kg，坑深h=6.4m，假定在打夯的过程中坑的深度变化不大，取g=10m/s²．求：
（1）在每个打夯周期中，电动机对夯杆所做的功；
（2）每个打夯周期中滚轮与夯杆间因摩擦产生的热量；
（3）打夯周期．

Answer 1

分析：（1）夯杆底端刚到达坑口的运动过程中，先做匀加速直线运动，当速度达到滚轮的线速度时，做匀速直线运动，夯杆先受到滑动摩擦力，然后受静摩擦力，电动机对夯杆所做的功等于摩擦力做的功．
（2）求出在每个周期内滚轮与夯杆间的相对位移，从而根据Q=fs_相对求出因摩擦产生的热量．
（3）夯杆的运动过程包括：匀加速上升、匀速上升、匀减速上升再落回到坑底．求出整个过程的时间，即为打夯周期．

解答：解：（1）夯杆所受的滑动摩擦力F₁=2μF_N
根据牛顿第二定律得，F₁-mg=ma
夯杆匀加速运动的位移s1=

v2

2a

夯杆匀速运动的位移s₂=h-s₁
匀速运动的过程中，夯杆受静摩擦力，F₂=mg
所以电动机对夯杆所做的功W=F₁s₁+F₂（h-s₁）=7.2×10⁴J．
故电动机对夯杆所做的功为7.2×10⁴J．
（2）夯杆与滚轮之间的相对位移为△s=vt-

v2

2a

   t=

v

a

解得△s=

v2

2a

所以Q=2μF_N△s=4.8×10⁴J．
故每个打夯周期中滚轮与夯杆间因摩擦产生的热量为4.8×10⁴J．
（3）夯杆的运动过程包括：匀加速上升、匀速上升、匀减速上升再落回到坑底．
匀加速运动的时间t1=

v

a

=2s
匀速运动的时间t2=

h-s1

v

=0.6s
匀减速上升再落回坑底过程有：规定向上为正方向，h=vt3+

1

2

at32-6.4=4t3-

1

2

×10t32
解得t₃=1.6s
所以周期T=t₁+t₂+t₃=4.2s
故打夯周期为4.2s．

点评：解决本题的关键理清夯杆的运动过程，知道夯杆在一个周期内先做匀加速上升，再做匀速上升，最后匀减速上升到零，做自由落体到坑底．