Question

（2007?崇文区二模）如图是建筑工地上常用的一种“深穴打夯机”示意图，电动机带动两个滚轮匀速转动将夯杆从深坑提上来，当夯杆底端刚到达坑口时，两个滚轮彼此分开，将夯杆释放，夯杆在自身重力作用下，落回深坑，夯实坑底．然后两个滚轮再次压紧，夯杆被提上来，如此周而复始（夯杆被滚轮提升过程中，经历匀加速和匀速运动过程）．已知两个滚轮边缘的线速度恒为v=4m/s，滚轮对夯杆的正压力F_N=2×10⁴N，滚轮与夯杆间的动摩擦因数μ=0.3，夯杆质量m=1×10³kg，坑深h=6.4m，假定在打夯的过程中坑的深度变化不大，取g=10m/s²．求：
（1）夯杆被滚轮带动加速上升的过程中，加速度的大小；并在给出的坐标图中定性画出夯杆在一个打夯周期内速度v随时间t变化的图象；
（2）每个打夯周期中，电动机对夯杆做的功；
（3）每个打夯周期中滚轮与夯杆间因摩擦产生的热量．

Answer 1

分析：（1）夯杆底端刚到达坑口的运动过程中，先做匀加速直线运动，当速度达到滚轮的线速度时，做匀速直线运动，到达坑口后，做竖直上抛运动；根据牛顿第二定律求解加速度，根据运动学公式求解速度；
（2）夯杆先受到滑动摩擦力，然后受静摩擦力，电动机对夯杆所做的功等于摩擦力做的功；
（3）求出在每个周期内滚轮与夯杆间的相对位移，从而根据Q=fs_相对求出因摩擦产生的热量．

解答：解：（1）夯杆加速上升阶段：
加速度  a=

2μFN-mg

m

解得a=2m/s²  
夯杆在一个运动周期内v-t图象如图所示；

（2）夯杆加速上升的高度 h1=

v2

2a

在加速上升阶段，电动机对夯杆做的功   W₁=2μF_Nh₁=4.8×10⁴J 
夯杆匀速上升阶段上升高度   h₂=h-h₁=2.4m  
电动机对夯杆做的功   W₂=mgh₂=2.4×10⁴J  
每个打夯周期中，电动机对夯杆所做的功  W=W₁+W₂=7.2×10⁴J 
（3）夯杆加速上升的时间 t1=

v

a

=2s
滚轮边缘转过的距离是 s=vt₁=8m  
相对夯杆的位移是  L=8m-4m=4m   
摩擦产生的热量  Q=2μF_NL       
Q=4.8×10⁴J  
答：（1）如图所示；
（2）每个打夯周期中，电动机对夯杆做的功为7.2×10⁴J；
（3）每个打夯周期中滚轮与夯杆间因摩擦产生的热量为4.8×10⁴J．

点评：解决本题的关键理清夯杆的运动过程，知道夯杆在一个周期内先做匀加速上升，再做匀速上升，最后匀减速上升到零，做自由落体到坑底．