Question

如图所示的直角坐标系xoy中，在x＜0，y＞0的区域有一对平行金属板M和N，其中N板位于x轴上，M、N板加有如图所示电压，平行金属板右侧存在沿y轴负向与平行金属板等宽度的匀强电场，场强大小为E，在x＞0 y＞0的区域存在垂直纸面的矩形有界磁场，其下边界和左边界分别与Ox、Oy轴重合．t=0时刻一质量为m，电量为q的带电微粒沿着平金属板的轴线O₁O  2以初速度v₀向右开始运动，恰从M板右边缘的P点沿x轴正向进入平行金属板右侧电场，经过一段时间后以2v₀的速度经Q点进入磁场，Q点为O₁O₂与y轴的交点，再经磁场偏转带电微粒恰好从坐标原点O沿x轴负向返回电场，不计带电微粒的重力．求：
（1）平行金属板M、N间的距离d及右侧电场的宽度L；
（2）平行金属板上所加电压U₀满足的条件；
（3）矩形磁场区域的最小面积．

Answer 1

分析：（1）研究带电粒子从P运动到Q的地过程：带电粒子做类平抛运动，初速度为v₀，到达Q点的速度为2v₀，即可求得Q点的速度与水平方向的夹角，得到竖直方向的分速度v_y，

v

2 y

=2?(

qE

m

)?

d

2

，L=v₀t，求得d和L．
（2）由题意，画出带电粒子在平行金属板间的运动轨迹，粒子在电场中运动的侧向总位移应满足：

d

2

=

1

2

?

qU0

md

?(

T

2

)2?2n，其中n=1，2，3，…，L=v₀?nT，即可求出电压U₀满足的条件；
（3）画出带电粒子在磁场中的运动轨迹，由几何知识求出最小矩形磁场的长和宽，即可求出磁场的最小面积．

解答：解：（1）因带电微粒在P点速度沿x轴正向，则带电微粒在Q点的水平速度为v₀，设速度方向与水平方向的夹角为θ，有：
cosθ=

v0

2v0

=

1

2

，得θ=60°
在Q点的竖直方向分速度为v_y=2v₀sinθ=

3

v0
从P点到Q点，带电微粒做类平抛运动，则有
 

v

2 y

=2?(

qE

m

)?

d

2

∴d=

3m v 2 0

qE

L=v₀t=v₀?

vy

a

=v₀?

vy

qE m

=

3 m v 2 0

qE

（2）由题，画出粒子在平行金属板间的运动轨迹，粒子在电场中运动的侧向总位移满足：
  

d

2

=

1

2

?

qU0

md

?(

T

2

)2?2n，其中n=1，2，3，…
又L=v₀?nT
由以上两式解得：U₀=

6nm v 2 0

q

（n=1，2，3，…）
（3）如图，设最大的矩形磁场的高为L₁，宽为L₂，画出带电粒子的运动轨迹，如图，则由几何知识可知：
   （

d

2

-r）?cosθ=r，
∴r=

d

6

故L₁=r（1+cosθ）=

3

2

r，L₂=r
所以矩形磁场的最小面积为
   S=L₁?L₂=

3

2

r2=

d2

24

=

3m2 v 4 0

8q2E2

答：
（1）平行金属板M、N间的距离d为

3m v 2 0

qE

，右侧电场的宽度L是

3 m v 2 0

qE

；
（2）平行金属板上所加电压U₀满足的条件是：U₀=

6nm v 2 0

q

（n=1，2，3，…）；
（3）矩形磁场区域的最小面积是

3m2 v 4 0

8q2E2

．

点评：本题带电粒子在复合场中运动，电场中做平抛运动，关键要把握电场的周期性，磁场中画出粒子运动的轨迹，由几何知识求磁场的长和宽是关键．