Question

17．如图，在直角坐标系xOy中，点M（0，l）处不断向抄方向发射出大量质量为m、带电量为-q的粒子（不计粒子重力），粒子的初速度大小广泛分布于零到v₀之间．已知这些粒子此后所经磁场区域的磁感应强度大小均相同，方向垂直于纸面向里，其中0≤x≤l区域内的磁场分布如图所示（即虚线MP下方无磁场），l≤x≤2l区域无磁场，2l≤x≤3l区域的磁场分布未画出．己知所有粒子都沿+x方向经过，0≤x≤2l区域，且都沿-y的方向通过点N（3l，0），其中速度大小为v₀的粒子刚好从P点通过．则：
（1）求磁场的磁感应强度B
（2）求出2l≤x≤3l区域内符合要求的磁场范围的最小面积：
（3）若其中速度为αv₀和βv₀的两个粒子同时到达N点（0＜β＜α＜1），求二者发射的时间差△t．

Answer 1

分析 （1）在0-l区域，速度为v₀的粒子偏转90°后从P离开磁场，求出圆周运动的半径，根据半径公式求解B；
（2）带电粒子沿y轴正方向射入，在磁场的洛伦兹力作用下发生偏转，然后所以粒子沿+x方向经过b区域，则磁场的右边界由数学关系推导出与R无关，而是一条直线．那么磁场的左边界则是一段圆弧，其半径由洛伦兹力提供向心力公式求解得．由于对称，则可求出磁场的最小面积．
（3）两种粒子在磁场中运动时间是相等，它们发射的时间差是因速度不同导致的．

解答 解：（1）在0-l区域，速度为v₀的粒子偏转90°后从P离开磁场，则：
r=l=$\frac{m{v}_{0}}{Bq}$
解得：B=$\frac{m{v}_{0}}{lq}$
（2）此后粒子均沿+x方向穿过l-2l区域，进入2l-3l区域，
由对称性可知，其磁场区域如图，磁场面积最小，最小面积为S=$\frac{1}{4}π{l}^{2}-\frac{1}{2}{l}^{2}$
（3）速度为αv₀的粒子在磁场中做匀速圆周运动的时间t=${t}_{1}+{t}_{2}=2×\frac{πm}{2Bq}=\frac{πm}{Bq}$，则该段时间与粒子速度无关，
而速度为αv₀的粒子在没有磁场区域做匀速直线运动的时间$t′=\frac{2（l-R）+l}{α{v}_{0}}+\frac{l}{{αv}_{0}}=\frac{4l-2R}{α{v}_{0}}$，其中R为速度为αv₀的粒子做圆周运动的半径，
且R=$\frac{mα{v}_{0}}{Bq}=αl$，所以$t′=\frac{（4-2α）l}{α{v}_{0}}$，
同理速度为βv₀的粒子做匀速直线运动的时间为$t″=\frac{（4-2β）l}{β{v}_{0}}$
所以这两个粒子的发射时间差$△t=t″-t′=\frac{4l}{{v}_{0}}（\frac{1}{β}-\frac{1}{α}）$．
答：（1）磁场的磁感应强度B为$\frac{m{v}_{0}}{lq}$；
（2）2l≤x≤3l区域内符合要求的磁场范围的最小面积为$\frac{1}{4}π{l}^{2}-\frac{1}{2}{l}^{2}$；
（3）若其中速度为αv₀和βv₀的两个粒子同时到达N点（0＜β＜α＜1），则二者发射的时间差△t为$\frac{4l}{{v}_{0}}（\frac{1}{β}-\frac{1}{α}）$．

点评 利用数学表达式，导出磁场右边界的函数关系式．同时相同粒子不同速度在磁场中的时间是相等，由于速度的不同，导致直线运动中时间不一．