Question

14．对某行星的一颗卫星进行观测，已知运行的轨迹是半径为R的圆周，运动n周的时间为t．求：
（1）该行星的质量
（2）测得行星的半径为卫星轨道半径的$\frac{1}{5}$，则此行星表面的重力加速度为多大？

Answer 1

分析 （1）根据题意求出卫星的周期，卫星做圆周运动万有引力提供向心力，由牛顿第二定律可以求出行星的质量．
（2）行星表面的物体受到的万有引力等于重力，据此求出重力加速度．

解答 解（1）卫星的周期：T=$\frac{t}{n}$，
卫星做匀速圆周运动，万有引力提供向心力：
G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$=m$（\frac{2π}{T}）^{2}$R，解得：M=$\frac{4{n}^{2}{π}^{2}{R}^{3}}{G{t}^{2}}$；
（2）设行星的半径为r，卫星半径R=5r----------------④
地球表面上质量为m′的物体受到的万有引力近似等于其受到的重力，
可得：G$\frac{Mm′}{{r}^{2}}$=m′g，解得：g=$\frac{100{π}^{2}{n}^{2}R}{{t}^{2}}$；
答：（1）该行星的质量为$\frac{4{n}^{2}{π}^{2}{R}^{3}}{G{t}^{2}}$；
（2）测得行星的半径为卫星轨道半径的$\frac{1}{5}$，则此行星表面的重力加速度为$\frac{100{π}^{2}{n}^{2}R}{{t}^{2}}$．

点评 本题考查了万有引力定律的应用，知道万有引力提供向心力、万有引力等于重力是正确解题的关键，应用万有引力公式与牛顿第二定律可以解题．