Question

10．伽利略在研究运动和力的关系时，曾经考虑了一个无摩擦的理想实验：如图所示，在A点处悬挂一个摆球，将摆球拉至B点处放手，摆球将摆到与B等高的C处；假若在A点正下方的E处钉一钉子，摆球的运动路径会发生改变，但仍能升到与开始等高的D处．如果图中的摆线长为l，初始时刻摆线与竖直线之间的夹角为60°，重力加速度为g．求：
（1）摆球摆到最低点O时速度的大小；
（2）将E处的钉子下移，当钉子与A的距离至少多大时，摆球摆下后能在竖直面内做完整的圆周运动．

Answer 1

分析 （1）通过摆球运动过程机械能守恒求解；
（2）先由牛顿第二定律求得圆周运动最高点的速度，然后根据机械能守恒通过O点速度求解圆周运动的半径，即可求得距离．

解答 解：（1）摆球运动过程无摩擦，故只有重力做功，那么机械能守恒；设小球的质量为m，则有：mgl（1-cosθ）=$\frac{1}{2}m{v^2}$；
解得：v=$\sqrt{gl}$；
（2）设小球恰能通过最高点时，其轨道半径为R，在最高点处由牛顿第二定律得：mg=$\frac{{m{v_1}^2}}{R}$；
从最低点到最高点由动能定理得：$-mg2R=\frac{1}{2}m{v_1}^2-\frac{1}{2}m{v^2}$=$\frac{1}{2}mgR-\frac{1}{2}mgl$；
解得：R=$\frac{l}{5}$；
所以有：$AE=l-\frac{l}{5}=\frac{4l}{5}$；
答：（1）摆球摆到最低点O时速度的大小为$\sqrt{gl}$；
（2）将E处的钉子下移，当钉子与A的距离至少为$\frac{4l}{5}$时，摆球摆下后能在竖直面内做完整的圆周运动．

点评 经典力学问题一般先对物体进行受力分析，求得合外力及运动过程做功情况，然后根据牛顿定律、动能定理及几何关系求解．