Question

1．如图所示，在坐标系xOy的第一象限内有方向竖直向上的匀强电场，第二象限内有磁感应强度大小为B₁（未知）、方向垂直于纸面向里的匀强磁场，第三、四象限内有磁感应强度大小为B₂（未知）、方向垂直于纸面向里的匀强磁场，一带电荷量为q、质量为m的带负电的粒子，从x轴上的P点（-L，0），沿与x轴负方向成37°角的方向向上射出，射出时的初速度大小为v₀，经磁场偏转后，垂直通过y轴，粒子运动过程中第一次通过x轴时，速度方向与x轴的正方向刚好成37°角，又经过一段时间刚好从P点第二次通过x轴．不计粒子的重力．求：（sin37°=0.6，cos37°=0.8）
（1）磁感应强度B₁的大小及粒子第一次通过y轴的位置；
（2）电场强度E及磁感应强度B₂的大小；
（3）粒子从P点出发再回到P点所用的时间．

Answer 1

分析 （1）作出粒子整个运动过程轨迹，根据几何关系求解粒子做圆周运动的半径，根据洛伦兹力提供向心力求解粒子通过y轴的位置坐标；
（2）粒子在电场中做类平抛运动，根据类平抛运动和速度分解求解粒子通过x轴的速度，根据几何关系可知，粒子在三、四象限内做圆周运动的半径，再根据洛伦兹力提供向心力求解磁感应强度；
（3）分别求出粒子在第二象限的运动时间、在电场中运动时间、在第三、四象限中运动时间，即可得到从P点出发到再回到P点经过的时间．

解答 解：（1）粒子经过磁场偏转，垂直通过y轴，因此粒子在第二象限的磁场中做圆周运动的圆心在y轴上，作出粒子整个运动过程轨迹如图所示，
根据几何关系可知，粒子做圆周运动的半径为：R₁=$\frac{L}{sin37°}$=$\frac{5}{3}L$，
根据qv₀B₁=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$解得：B₁=$\frac{3m{v}_{0}}{5qL}$；
粒子第一次通过y轴的位置为：y=R₁+R₁cos37°=3L，
因此通过y轴的位置坐标为（0，3L）；
（2）粒子在电场中做类平抛运动，第一次通过x轴时，速度方向与x轴正方向夹角为37°，
则粒子通过x轴时，在电场中沿x轴方向的位移为：x=v₀t₁，
y方向的位移为：y=$\frac{1}{2}{v}_{y}{t}_{1}$，
又tan37°=$\frac{{v}_{y}}{{v}_{0}}$，qE=ma，
解得：x=8L，E=$\frac{3m{v}_{0}^{2}}{32qL}$；
粒子通过x轴的速度为：v₁=$\frac{{v}_{0}}{cos37°}$=$\frac{5}{4}{v}_{0}$，
根据几何关系可知，粒子在三、四象限内做圆周运动的半径为：
R₂=$\frac{4.5L}{cos53°}$=7.5L，
根据qv₁B₂=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{{R}_{2}}$解得：B₂=$\frac{m{v}_{0}}{6qL}$；
（3）粒子在第二象限的运动周期为：T₁=$\frac{2πm}{q{B}_{1}}$，
在第二象限的运动时间为：t₀=$\frac{143}{360}{T}_{1}$，
在电场中运动时间为：t₁=$\frac{8L}{{v}_{0}}$，
在第三、四象限中运动周期为：T₂=$\frac{2πm}{q{B}_{2}}$，
在第三、四象限中运动时间为：t₂=$\frac{286}{360}{T}_{2}$，
因此从P点出发到再回到P点经过的时间为：t=t₀+t₁+t₂=（$\frac{5863π}{540}+8$）$\frac{L}{{v}_{0}}$．
答：（1）磁感应强度B₁的大小及粒子第一次通过y轴的位置为（0，3L）；
（2）电场强度E及磁感应强度B₂的大小为$\frac{m{v}_{0}}{6qL}$；
（3）粒子从P点出发再回到P点所用的时间为（$\frac{5863π}{540}+8$）$\frac{L}{{v}_{0}}$．

点评 对于带电粒子在磁场中的运动情况分析，一般是确定圆心位置，根据几何关系求半径，结合洛伦兹力提供向心力求解未知量；根据周期公式结合轨迹对应的圆心角求时间；对于带电粒子在电场中运动时，一般是按类平抛运动的知识进行解答．