Question

12．如图，Q为一个原来静止在光滑水平面上的物体，其DB段为一半径为R的光滑圆弧轨道，AD段为一长度为L=R的粗糙水平轨道，二者相切于D点，D在圆心O的正下方，整个轨道位于同一竖直平面内．物块P的质量为m（可视为质点），P与AD间的动摩擦因数μ=0.1，物体Q的质量为M=2m，重力加速度为g．
（1）若Q固定，P以速度v₀从A点滑上水平轨道，冲至C点后返回A点时恰好静止，求v₀大小．
（2）若Q固定，P仍以速度v₀从A点滑上水平轨道，求P第一次越过D点时对D点的压力大小．
（3）若Q不固定，P仍以速度v₀从A点滑上水平轨道，求P在光滑圆弧轨道上所能达到的最大高度h．

Answer 1

分析 （1、2）P从A到C又返回A的过程中，由动能定理求得v₀的大小，由动能定理和牛顿定律求解对Q的压力大小．
（3）当PQ具有共同速度v时，P达到的最大高度h，由动量守恒定律和功能关系求解．

解答 解：（1）P从A到C又返回A的过程中，由动能定理有
-μmg•2L=0-$\frac{1}{2}$m${v}_{0}^{2}$           ①
将L=R代入①解得
 v₀=$\sqrt{\frac{2gR}{5}}$                           ②
（2）若P在D点的速度为v_D，Q对P的支持力为F_D，由动能定理和牛顿定律有
-μmgL=$\frac{1}{2}$m${v}_{D}^{2}$-$\frac{1}{2}$m${v}_{0}^{2}$              ③
根据牛顿第二定律得
F_D-mg=m$\frac{{v}_{D}^{2}}{R}$                    ④
联立解得
  F_D=1.2mg                    ⑤
由牛顿第三定律可知，P对Q的压力大小也为1.2mg．
（3）当PQ具有共同速度v时，P达到的最大高度h，由动量守恒定律有
mv₀=（m+M）v                       ⑥
由功能关系有$\frac{1}{2}$m${v}_{0}^{2}$=μmgL+$\frac{1}{2}$（m+M）v²+mgh  ⑦
联立解得
h=$\frac{1}{30}$R
 答：（1）若Q固定，P以速度v₀从A点滑上水平轨道，冲至C点后返回A点时恰好静止，v₀大小是$\sqrt{\frac{2gR}{5}}$．
（2）若Q固定，P仍以速度v₀从A点滑上水平轨道，P第一次越过D点时对D点的压力大小是1.2mg．
（3）若Q不固定，P仍以速度v₀从A点滑上水平轨道，P在光滑圆弧轨道上所能达到的最大高度是$\frac{1}{30}$R．

点评 本题主要考查了牛顿第二定律、动量守恒定律及动能定理的直接应用，难度适中．