Question

9．2007年10月24日18时05分，我国成功发射了“嫦娥一号”探月卫星，11月5日进入月球轨道后，经历3次轨道调整，进入工作轨道．若该卫星在地球表面的重力为G₁，在月球表面的重力为G₂，已知地球半径为R₁，月球半径为R₂，地球表面处的重力加速度为g，则（　　）

• A． 月球表面处的重力加速度g_月为 $\frac{{G}_{2}}{{G}_{1}}$g
• B． 月球的质量与地球的质量之比为$\frac{{G}_{1}{R}_{2}^{2}}{{G}_{1}{R}_{1}^{2}}$
• C． 卫星在距月球表面轨道上做匀速圆周运动的周期T_月为2$\sqrt{\frac{{R}_{2}{G}_{1}}{g{G}_{1}}}$
• D． 月球的第一宇宙速度与地球的第一宇宙速度之比为$\sqrt{\frac{{G}_{1}{R}_{2}}{{G}_{2}{R}_{1}}}$

Answer 1

分析 A、根据卫星在地球表面和月球表面的重力之比知重力加速度之比，从而求出月球表面的重力加速度．
B、根据万有引力等于重力$G\frac{mM}{{R}^{2}}=mg$，求出月球和地球的质量之比．
C、根据mg_月=mR₂（ $\frac{2π}{{T}_{月}}$）²，求出卫星在月球表面轨道上做匀速圆周运动的周期．
D、根据mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$，求出月球和地球的第一宇宙速度之比．

解答 解：A、卫星在地球表面的重力为G₁，在月球表面的重力为G₂，则$\frac{{g}_{月}}{g}=\frac{{G}_{2}}{{G}_{1}}$，所以${g}_{月}=\frac{{G}_{2}}{{G}_{1}}g$，故A正确；
B、根据万有引力等于重力$G\frac{mM}{{R}^{2}}=mg$，知M=$\frac{g{R}^{2}}{G}$．中心天体的质量与半径和表面的重力加速度有关．所以月球的质量和地球的质量之比$\frac{{M}_{月}}{{M}_{地}}=\frac{{g}_{月}}{g}•\frac{{R}_{2}^{2}}{{R}_{1}^{2}}=\frac{{G}_{2}{R}_{2}^{2}}{{G}_{1}{R}_{1}^{2}}$．故B错误；
C、根据mg_月=mR₂（ $\frac{2π}{{T}_{月}}$）²，得${T}_{月}=2π\sqrt{\frac{{R}_{2}}{{g}_{月}}}$，而${g}_{月}=\frac{{G}_{2}}{{G}_{1}}g$，所以${T}_{月}=2π\sqrt{\frac{{R}_{2}{G}_{1}}{g{G}_{2}}}$，故C错误；
D、根据mg=$m\frac{{v}^{2}}{R}$，知第一宇宙速度v=$\sqrt{gR}$，而$\frac{{g}_{月}}{g}=\frac{{G}_{2}}{{G}_{1}}$，所以第一宇宙速度之比$\frac{{v}_{月}}{{v}_{地}}=\sqrt{\frac{{G}_{2}{R}_{2}}{{G}_{1}{R}_{1}}}$．故D错误．
故选：A．

点评 解决本题的关键掌握万有引力等于重力$G\frac{mM}{{R}^{2}}=mg$，知道卫星在月球表面轨道做圆周运动，靠重力提供向心力mg_月=mR₂（ $\frac{2π}{{T}_{月}}$）²，以及会求第一宇宙速度．