Question

如图所示，AOB是游乐场中的滑道模型，它位于竖直平面内，由两个半径都是r的1/4圆周,连接而成，它们的圆心O₁ ,O₂与两圆弧的连接点O在同一竖直线上.O₂B沿水池的水面，O₂和B两点位于同一水平面上.一个质量为m的小滑块可由弧AO的任意位置从静止开始滑下，不计一切摩擦.

(1)   假设小滑块由A点静止下滑，求小滑块滑到O点时对O点的压力；

(2)   凡能在O点脱离滑道的小滑块，其落水点到O₂的距离如何；

(3)   若小滑块从开始下滑到脱离滑道过程中，在两个圆弧上滑过的弧长相等，则小滑块开始下滑时应在圆弧AO上的何处（用该处到O₁点的连线与竖直线的夹角的三角函数值表示).

Answer 1

 解：（1）mgR= mv²                                 1分

        Fn—mg=mv²/R                                1分

        联立得：Fn=3mg                              1分

由牛顿第三定律得：压力大小为3mg,方向竖直向下。       1分

（2）从A点下滑的滑块到O点的速度为，  

设能脱离轨道的最小速度为v₁，则有：

mg=mv₁²/R,                                        1分

得：v₁=                                     1分

    R=gt²                                          1分

     X=v_ot                                            1分

联立得：R≤x≤2R                               1分

 (3) 如图所示，设滑块出发点为，离开点为，按题意要求、与竖直方向的夹角相等，设其为，若离开滑道时的速度为v，则滑块在处脱离滑道的条件是

                                        1分

由机械能守恒

                  1分

联立解得

                                             1分