Question

18．如图，A是半径为R的光滑圆弧轨道的最低点，B、C为可视为质点的两小球，将B放在A点正上方h处，将C放在离A点很近的轨道上，同时由静止释放B、C两球（忽略空气阻力）．当B球下落到A点时恰好与C球相遇，h的最小值应为$\frac{{π}^{2}R}{8}$；将C球向A点移动至原AC弧的中点，再次同时释放两球，仍当B球下落到A点时恰好与C球相遇，h的最小值将不变（选填“减小”、“不变”或“增大”）．

Answer 1

分析 C球在光滑圆弧轨道的运动近似于一个单摆模型，计算出到A点的时间；B球做自由落体运动，两球相遇，则到达A点的时间相等，建立等式求出h的最小值．

解答 解：C球沿光滑圆弧轨道做简谐运动（由于C放在离A点很近的轨道上，可认为摆角θ＜5°）．此振动与一个摆长为R的单摆振动模型相同，故此等效摆长为R，B球下落到A点时恰好与C球相遇，C球第1次经过A点就和B球相遇，时间最短，此时h有最小值
因此C球第1次到达A处的时间为：${t}_{C}=\frac{1}{4}T=\frac{1}{4}×2π\sqrt{\frac{R}{g}}$
B球做自由落体运动，下落到A点的时间为${t}_{B}=\sqrt{\frac{2h}{g}}$
两球相遇有：t_B=t_C
解得h=$\frac{{π}^{2}R}{8}$
将C球向A点移动至原AC弧的中点，C球依然做间谐运动，此振动动与一个摆长为R的单摆振动模型相同，故C球到A点的时间不变
再次同时释放两球，仍当B球下落到A点时恰好与C球相遇，h的最小值依然将不变．
故答案为：$\frac{{π}^{2}R}{8}$； 不变

点评 解答本题的关键是掌握单摆的周期公式．将C球的运动等效于一个摆长为R的单摆的运动．