题目内容
如图所示，在xoy平面内有一扇形金属框abc，其半径为r，ac边与y轴重合，bc边与x轴重合，且c为坐标原点，ac边与bc边的电阻不计，圆弧ab上单位长度的电阻为R．金属杆MN长度为L，放在金属框abc上，MN与ac边紧邻．磁感应强度为B的匀强磁场与框架平面垂直并充满平面．现对MN杆施加一个外力（图中未画出），使之以C点为轴顺时针匀速转动，角速度为ω．求：（1）在MN杆运动过程中，通过杆的电流I与转过的角度θ间的关系；
（2）整个电路消耗电功率的最小值是多少？
分析：（1）先求出电路中产生的感应电动势，然后求出电路总电阻，根据欧姆定律即可求得电流I与转过的角度θ间的关系；
（2）根据题意可知，圆弧总长度rθ+r（
-θ）是定值，所以，当 rθ=r（
-θ）时，即θ=
时，总电阻R总有最大值．求出总电阻的最大值，然后根据功率的公式求解最小功率．
（2）根据题意可知，圆弧总长度rθ+r（
| π |
| 2 |
| π |
| 2 |
| π |
| 4 |
解答：解：（1）电路中感应电动势 E=
Bωr2
金属杆的电阻为Rr，则电路总电阻
R总=Rr+
=Rr+
杆中电流I与杆转过的角度θ的关系为 I=
=
（2）由于总电阻：R总=Rr+
，圆弧总长度rθ+r（
-θ）是定值，所以，当 rθ=r（
-θ）时，即θ=
时，总电阻R总有最大值．
此时，R总=Rr+
此时，电路消耗电功率的最小值是P=
=
答：（1）在MN杆运动过程中，通过杆的电流I与转过的角度θ间的关系为I=
；
（2）整个电路消耗电功率的最小值是
．
| 1 |
| 2 |
金属杆的电阻为Rr，则电路总电阻
R总=Rr+
R(rθ)R[r(
| ||
|
| θ(π-2θ)rR |
| π |
杆中电流I与杆转过的角度θ的关系为 I=
| E |
| R总 |
| πBr2ω |
| 2πRr+2θ(π-2θ)rR |
（2）由于总电阻：R总=Rr+
R(rθ)R[r(
| ||
|
| π |
| 2 |
| π |
| 2 |
| π |
| 4 |
此时，R总=Rr+
| πrR |
| 8 |
此时，电路消耗电功率的最小值是P=
| E2 |
| R总 |
| 2B2r4ω2 |
| 8Rr+πrR |
答：（1）在MN杆运动过程中，通过杆的电流I与转过的角度θ间的关系为I=
| πBr2ω |
| 2πRr+2θ(π-2θ)rR |
（2）整个电路消耗电功率的最小值是
| 2B2r4ω2 |
| 8Rr+πrR |
点评：本题要同学们分析出电路的结构，两段圆弧并联后与金属感相连，会用闭合电路欧姆定律求解电流，知道圆弧总长度是定值，能用数学知识求解电阻的最大值，难度适中．
练习册系列答案
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