题目内容

9．如图所示，一足够长的光滑平行金属轨道，其轨道平面与水平面成θ角，上端用一电阻R相连，处于方向垂直轨道平面向上的匀强磁场中．质量为m、电阻为r的金属杆ab，从高为h处由静止释放，下滑一段时间后，金属杆开始以速度v匀速运动直到轨道的底端．金属杆始终保持与导轨垂直且接触良好，轨道电阻及空气阻力均可忽略不计，重力加速度为g．则（　　）
A．金属杆加速运动过程中的平均速度为$\frac{V}{2}$
B．金属杆加速运动过程中克服安培力做功的功率大于匀速运动过程中克服安培力做功的功率
C．金属杆的速度为$\frac{V}{2}$时，它的加速度大小为$\frac{gsinθ}{2}$
D．整个运动过程中电阻R产生的焦耳热为mgh-$\frac{1}{2}$mv2

分析 本题关键应根据安培力与速度的关系分析金属棒的运动情况．
金属杆在加速运动中加速度不断减小，根据速度图象分析可知平均速度大于$\frac{1}{2}v$；
加速运动过程中金属杆克服安培力做功的功率等于$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}^{2}}{R+r}$，与速率v的平方成正比，小于匀速运动过程中克服安培力做功的功率；
速度为$\frac{v}{2}$，安培力的大小为$\frac{{B}^{2}{L}^{2}\frac{v}{2}}{R+r}$，根据牛顿第二定律求解加速度；
整个回路中产生的焦耳热为$mgh-\frac{1}{2}m{v^2}$，大于电阻R产生的焦耳热．

解答 解：A、若金属杆匀加速运动，则平均速度为$\frac{v}{2}$．实际上金属杆加速运动中加速度不断减小，速度-时间图象的斜率不断减小，在相同时间内金属杆通过的位移大于匀加速运动通过的位移，则金属杆的平均速度大于匀加速运动的平均速度$\frac{1}{2}v$．故A错误．
B、金属杆克服安培力做功的功率等于$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}^{2}}{R+r}$，与速率v的平方成正比，由于匀速运动时速度最大，则知加速运动过程中金属杆克服安培力做功的功率小于匀速运动过程中克服安培力做功的功率．故B错误．
C、匀速运动时，金属杆的速度大小为v，所受的安培力大小为$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{R+r}$，此时有mgsinθ=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{R+r}$；当金属杆的速度为$\frac{1}{2}$v时，它所受的安培力大小为$\frac{{B}^{2}{L}^{2}\frac{v}{2}}{R+r}$，根据牛顿第二定律得
   mgsinθ-$\frac{{B}^{2}{L}^{2}\frac{v}{2}}{R+r}$=ma，联立解得a=$\frac{gsinθ}{2}$．故C正确．
D、整个运动过程中回路中产生的焦耳热为$mgh-\frac{1}{2}m{v^2}$，所以R上产生的热量小于$mgh-\frac{1}{2}m{v^2}$，故D错误．
故选：C

点评 解决这类问题的关键时分析受力情况，掌握安培力的表达式FA=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}^{2}}{R+r}$，进一步确定运动性质，并明确判断各个阶段及全过程的能量转化．

练习册系列答案
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A．
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B．
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C．
如图表示的是金属框穿过磁场过程中的bc边的电势差Ubc随时间t变化的图象
D．
若以向左为安培力的正方向，则如图表示的是金属框穿过磁场过程中的金属框受到的安培力F随时间t变化的图象
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