Question

12．如图所示，在xOy平面直角坐标系中，第一象限内存在着磁感应强度为B，方向垂直纸面向里的匀强磁场，第二象限内存在沿y轴负方向的匀强电场．从x轴上坐标为（L，0）的点M，沿xOy平面向第一象限内同时发射若干个质量均为m、电荷量均为+q的同种粒子．粒子速度大小不等，方向与x轴正方向成45°～135°．粒子经过磁场偏转后都垂直射到y轴上，然后进入第二象限，粒子重力不计．求：
（1）y轴上有粒子穿过的区间长度；
（2）最先与最后穿过y轴的粒子的时间间隔；
（3）若发射速度最小的粒子再次回到x轴时的速度大小恰好等于发射速度最大的粒子的发射速度，匀强电场的场强多大？

Answer 1

分析 （1）粒子在磁场中做匀速圆周运动，确定圆心，定出半径，画出运动轨迹，由几何知识求出轨迹半径，并得到y轴上有粒子穿过的区间长度．
（2）根据轨迹的圆心角求出粒子在磁场中运动的时间，即可求得时间间隔．
（3）粒子进入电场做类平抛运动，由动能定理和半径公式结合求解电场强度．

解答 解：（1）画出速度最大的粒子运动轨迹，分别如图中蓝线和红线所示，设它们的半径分别为r₁和r₂．
根据几何知识得：r₁=r₂=$\sqrt{2}$L
粒子射到y轴上离O最远的点为D，则OD=r₂+L=（$\sqrt{2}$+1）L
粒子射到y轴上离O最近的点为C，则OC=r₁-L=（$\sqrt{2}$-1）L
故y轴上有粒子穿过的区间长度为 S=OD-OC=2L．
（2）粒子在磁场中运动的周期为 T=$\frac{2πm}{qB}$
从C射到电场的粒子最先穿过y轴，它在磁场中运动时间为 t₁=$\frac{45°}{360°}$T
从D射到电场的粒子最后穿过y轴，它在磁场中运动时间为 t₂=$\frac{135°}{360°}$T
故 t₂-t₁=$\frac{90°}{360°}$T=$\frac{πm}{2qB}$
（3）在速度最小的粒子在电场中做类平抛运动，轨迹如绿线所示，可得其轨迹半径为r₃=L
根据r=$\frac{mv}{qB}$，得最大速度为 v₁=$\frac{\sqrt{2}qBL}{m}$
最小速度为 v₃=$\frac{qBL}{m}$
据题：该粒子再次回到x轴时的速度大小恰好等于发射速度最大的粒子的发射速度，由动能定理有：
 qE•L=$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{3}^{2}$
解得 E=$\frac{q{B}^{2}L}{2m}$
答：
（1）y轴上有粒子穿过的区间长度为2L；
（2）最先与最后穿过y轴的粒子的时间间隔为$\frac{πm}{2qB}$；
（3）若发射速度最小的粒子再次回到x轴时的速度大小恰好等于发射速度最大的粒子的发射速度，匀强电场的场强为$\frac{q{B}^{2}L}{2m}$．

点评 本题的解题关键是通过定圆心，找半径，画出带电粒子的运动轨迹，并运用几何知识求解相关的长度．