Question

如图所示，在xoy平面内的第三象限中有沿-y方向的匀强电场，场强大小为E．在第一和第二象限有匀强磁场，方向垂直于坐标平面向里．有一个质量为m、电荷量为e的电子，从y轴的P点以初速度v₀垂直于电场方向进入电场（不计电子所受重力）．经电场偏转后，电子沿着与x轴负方向成45°角进入磁场，并能返回到原出发点P．
（1）求P点距坐标原点的距离；
（2）电子从P点出发经多长时间返回P点．

Answer 1

分析：（1）分析电子的运动情况：电子在电场中，受到竖直向上的电场力而做类平抛运动（或匀变速曲线运动）；进入磁场做匀速圆周运动；离开磁场后到P点做匀速直线运动． 画出轨迹．电子在电场中做类平抛运动，水平方向做匀速直线运动，竖直方向做初速度为零的匀加速直线运动．在M点电子的速度与x轴成45°角，则知电子经过M点的速度为v=

2

v₀．v_y=v₀．根据运动学求出P点距坐标原点的距离；
（2）分三段过程研究时间：电场中、磁场中和离开磁场后做匀速直线运动的时间．磁场中根据轨迹的圆心角α，由t=

α

2π

T求时间．由几何知识得到匀速直线运动的距离，即可求出匀速运动的时间．再根据几何知识求出磁场中运动的半径，求出T，即可求得总时间．

解答：解：（1）如右图所示，电子进入电场，从P点到M点做类平抛运动，进入磁场后做匀速圆周运动，离开磁场后从N点到P点做匀速直线运动，画出轨迹如图所示．
电子在电场中运动过程，有a=

eE

m

v_y=at₁
由矢量图得：v_y=v₀
偏转量：y=

1

2

a

t

2 1

解得：y=

1

2

a

t

2 1

=

m v 2 0

2Ee

（2）电子在电场中运动时间为t1=

mv0

eE

电子进入磁场中的速度：v=

2

v0

.

OM

=v0t1=2y=

m v 2 0

Ee

由圆的对称性可知，电子出磁场时与x轴负方向也是45°角，则：

.

ON

=

.

OP

由几何关系的：R=

2

2

.

MN

所以电子在磁场中运动的圆弧的圆心角为270°，设运动的时间为t₂，t2=

3

4

?

2πr

v

=

3πm

2eB

联立以上各式解得：t2=

9πmv0

8eE

电子从N点到P点做匀速直线运动，设运动的时间为t₃：
t3=

2 ? . op

v

代入数据解得：t3=

mv0

2eE

故总时间为t_总=t₁+t₂+t₃=

3(4+3π)mv0

8eE

答：
（1）P点距坐标原点的距离为y=

m v 2 0

2Ee

．
（2）电子从P点出发经

3(4+3π)mv0

8eE

时间返回P点．

点评：熟悉类平抛运动的处理方式，把平抛运动分解成相互垂直方向的匀速直线运动和初速度为0的匀加速直线运动，通过分运动的处理得到合运动的性质．画出轨迹，运用几何知识求出磁场中运动的半径，即可求出时间．