题目内容
8．我国已启动“嫦娥工程”，并于2007年10月24日和2010年10月1日分别将“嫦娥一号”和“嫦娥二号”成功发射，“嫦娥三号”亦有望在2013年落月探测90天，并已给落月点起了一个富有诗意的名字-“广寒宫”．（1）若已知地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，月球绕地球运动的周期为T，月球绕地球的运动近似看做匀速圆周运动，请求出月球绕地球运动的轨道半径r．
（2）若宇航员随登月飞船登陆月球后，在月球表面某处以速度v0竖直向上抛出一个小球，经过时间t，小球落回抛出点．已知月球半径为r月，引力常量为G，请求出月球的质量M月．
（3）若①地球和月球的半径之比为$\frac{R}{{R}_{0}}$=4，表面重力加速度之比$\frac{g}{{g}_{0}}$=6，求地球和月球的密度之比；
②绕月卫星的最大速度与绕地卫星的最大速度之比．（可用根号表示）
分析 （1）月球绕地球做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力，列出等式；运用黄金代换式GM=gR2求出问题．
（2）根据竖直上抛的运动规律求出月球表面重力加速度；再次运用万有引力等于重力求出月球的质量．
（3）根据万有引力等于重力得出天体质量的表达式，从而得出密度的表达式，结合表面的重力加速度之比和星球的半径之比求出密度之比．
根据万有引力提供向心力，分别写出速度的表达式，然后比较即可．
解答 解：（1）根据万有引力定律和牛顿第二定律得：
G$\frac{{{M_月}M}}{{{r_月}^2}}={M_月}{（\frac{2π}{T}）^2}{r_月}$ ①
质量为m的物体在地球表面时：mg=G$\frac{Mm}{R^2}$ ②
由①②得：r 月=$\root{3}{{\frac{{g{R^2}{T^2}}}{{4{π^2}}}}}$
（2）设月球表面处的重力加速度为g月，
根据竖直上抛的运动规律有：${v_0}=\frac{{{g_月}t}}{2}$ ③，
根据万有引力等于重力得：${g_月}=\frac{{G{M_月}}}{r_月^2}$ ④，
由③④解得：M月=$\frac{2{v}_{0}{r}_{月}^{2}}{Gt}$
（3）①根据$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=mg$得，星球的质量M=$\frac{g{R}^{2}}{G}$，则星球的密度$ρ=\frac{M}{V}$=$\frac{\frac{g{R}^{2}}{G}}{\frac{4π{R}^{3}}{3}}$=$\frac{3g}{4GπR}$ ⑤
球和月球的半径之比为4：1，表面的重力加速度之比为6：1，则密度之比为3：2
②根据万有引力提供向心力得：$\frac{GMm}{{R}^{2}}=\frac{m{v}^{2}}{R}$⑥
联立②⑥可得：v=$\sqrt{gR}$⑦
当轨道最小时卫星的速度最大，即在地球表面和月球表面的卫星的速度最大，所以：
$\frac{{v}_{月}}{{v}_{地}}=\sqrt{\frac{{g}_{0}{R}_{0}}{gR}}$=$\sqrt{\frac{1}{4}×\frac{1}{6}}=\sqrt{\frac{1}{24}}$ ⑧
答：（1）月球绕地球运动的轨道半径为$\root{3}{\frac{g{R}^{2}{T}^{2}}{4{π}^{2}}}$
（2）月球的质量为$\frac{2{v}_{0}{r}_{月}^{2}}{Gt}$；
（3）①球和月球的密度之比是3：2；
②绕月卫星的最大速度与绕地卫星的最大速度之比是$\sqrt{\frac{1}{24}}$．
点评 把星球表面的物体运动和天体运动结合起来是考试中常见的问题．重力加速度g是天体运动研究和天体表面宏观物体运动研究联系的物理量．
考前必练系列答案
如图所示，关于静止于地球赤道上的物体A，贴着地面运行的卫星B，相对地球静止的人造卫星C，相对于地心，下列说法正确的是（ ）| A． | 物体A的加速度和卫星C具有相同的加速度，但均小于卫星B的加速度 | |
| B． | 卫星B的运行速度大于卫星C，卫星C的速度大于物体A | |
| C． | 卫星B的运行周期大于物体A，物体A的周期等于卫星C的周期 | |
| D． | 若它们的质量相等，则所受合外力最大的是卫星C |
| A． | 曲线运动的速度方向保持不变 | |
| B． | 曲线运动是变速运动 | |
| C． | 曲线运动速度方向不是该点的切线方向 | |
| D． | 物体所受的合外力的方向与加速度方向不在一条直线上 |
| A． | 所有行星都在同一个椭圆轨道上绕太阳运动 | |
| B． | 行星绕太阳时太阳位于行星轨道的中心处 | |
| C． | 所有行星的轨道半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等 | |
| D． | 离太阳越近的行星的运动周期越长 |
如图所示，AB为固定的通电直导线，闭合导线框P与AB在同一平面内．当P远离AB做匀速运动时，线圈中的电流方向为（ ）| A． | 顺时针 | B． | 逆时针 | ||
| C． | 先顺时针后逆时针 | D． | 先逆时针后顺时针 |
| A． | 第2秒内的平均速度为15m/s | |
| B． | 前一秒的平均速度总比后一秒的平均速度小10m/s | |
| C． | 第7秒内的位移为65m | |
| D． | 后一秒的位移总比前一秒的位移多5m |
| A． | 它一定在赤道上空运行 | |
| B． | 它运行的线速度一定小于第一宇宙速度 | |
| C． | 同步卫星相对地面静止，故处于平衡状态 | |
| D． | 同步卫星的高度和运动速率是一个确定的值 |