题目内容

7．如图所示，传送带始终以恒定速度V匀速运动，在其中部存在宽度为3L、大小为B、方向竖直向上的匀强磁场．现将边长为L、质量为m、电阻为R的正方形线圈无初速地放到传送带左端，经过一段时间，线圈达到与传送带相同的速度．当一个线圈刚好开始匀速度运动时，下一个线圈恰好放到传送带上，线圈匀速运动后，相邻两个线圈间隔为L，且线圈均以速度V通过磁场．假设最大静摩擦力与滑动摩擦力相等．求：
（1）每个线圈通过磁场区域产生的热量Q．
（2）要实现上述传动过程，磁感应强度B的大小应满足什么条件？（用题中的m、B、L、V表示）
（3）电动机对传送带做功的功率P？

分析 （1）根据牛顿第二定律列式求解线框的加速度；根据运动学公式列式求解线框的相对位移；然后联立方程组求解；
（2）为保证线圈均以速度V通过磁场，则受力平衡，即安培力小于等于摩擦力，线框在进入和离开磁场时有感应电流，根据切割公式、欧姆定律、牛顿第二定律求解即可；
（3）某一导线框穿过磁场过程，皮带上有多个线圈，分析机械能增加量、内能增加量，然后求和．

解答 解：（1）每个线圈穿过磁场过程中有电流的运动距离为2L，
经历的时间：$t=\frac{2L}{v}$，
产生的电动势为：E=BLv，
感应电流：$I=\frac{E}{R}$，
产生的热量为：$Q={I}^{2}Rt=\frac{2{B}^{2}{L}^{3}v}{R}$；
（2）为保证通过磁场时不产生滑动，安培力必须不超过最大静摩擦力，即：F≤f，F=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{R}$①，
设线圈从放到传送带到与传送带具有相同速度经历的时间为T，由牛顿第二定律得：f=ma②，
有速度公式：v=aT③，
匀加速运动的位移：$L=\frac{1}{2}vT$④，
联立①②③④式解得；$B≤\sqrt{\frac{Rmv}{2{L}^{3}}}$；
（3）电动机在T时间对传送带做功W=PT，根据能量守恒定律得：$PT=\frac{1}{2}m{v}^{2}+{Q}_{摩擦}+{Q}_{焦耳}$，
而摩擦力生热：Q摩擦=fx相对=fL，
焦耳热：${Q}_{焦耳}={I}^{2}RT$，
联立解得：P=$\frac{m{v}^{3}}{2L}+\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}^{2}}{R}$；
答：（1）每个线圈通过磁场区域产生的热量Q为$\frac{2{B}^{2}{L}^{3}v}{R}$．
（2）要实现上述传动过程，磁感应强度B应满足；$B≤\sqrt{\frac{Rmv}{2{L}^{3}}}$；
（3）电动机对传送带做功的功率P为P=$\frac{m{v}^{3}}{2L}+\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}^{2}}{R}$；

点评 本题关键是明确传送带的运动规律，然后分过程按照牛顿第二定律、运动学公式、切割公式、欧姆定律、焦耳定律列式求解．

练习册系列答案
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