Question

1．如图，A、B两物体通过一柔软且不可伸长的绳子连接，跨在光滑小滑轮两侧，软绳与水平接触面平行，已知A、B两物体的质量均为m，且可视为质点，软绳质量也为m，长为2L，平台离地高L，不计运动过程中的一切摩擦，刚开始软绳全部在水平面内，现无初速释放B，A、B在重力作用下开始运动，若B触地后不再反弹．求：
（1）刚释放B物体时，AB物体的加速度为多少？
（2）当B即将落地的瞬间，AB两物体的速度为多少？
（3）在A物体滑到定滑轮前过程中，试写出其加速度与其运动位移的函数关系式，并且作出相应的a-x图象．

Answer 1

分析 （1）对AB及绳沿绳子的方向进行分析，开始下落时，沿绳子的拉力为B的重力，沿绳子由牛顿第二定律列式求解即可；
（2）B即将落地时，B及绳子的重力势能减小，由机械能守恒可求得AB两物体的速度；
（3）整体运动后，平台下方的绳子长度增长，则沿绳子方向上的拉力增大，分析x与台下绳长的关系，结合牛顿第二定律可求得加速度与位移之间的关系．

解答 解：
（1）刚释放瞬间，对B，根据牛顿第二定律，有：mg-T=ma，
对A和软绳整体，根据牛顿第二定律，有：T=2ma
联立以上两式，得：$a=\frac{g}{3}$
（2）B向下运动过程，系统满足机械能守恒，根据系统机械能守恒定律有：$mgL+\frac{1}{2}mg×\frac{L}{2}=\frac{3}{2}m{v}^{2}$
解得：v=$\sqrt{\frac{5}{6}gL}$
（3）对B未落地前，设A运动x距离，对整体据牛顿第二定律，有：$mg+\frac{mg}{2L}x=3ma$
解得：$a=\frac{g}{3}+\frac{gx}{6L}$（x＜L） 
当x=L时，$a=\frac{g}{2}$，落地后瞬间，B的重力不再产生拉力，此时加速度发生突变，$\frac{mg}{2}=2ma$
则a=$\frac{g}{4}$，即加速度a在物体B落地前后瞬间由$\frac{1}{2}$g变为$\frac{1}{4}$g，
对B落地后，对整体据牛顿第二定律，有：$\frac{mg}{2}=（\frac{m}{2L}（2L-x）+m）a$
解得：a=$\frac{L}{5L-x}g$（x≥L）
答：（1）刚释放B物体时，A、B物体的加速度为$\frac{g}{3}$；
（2）当B即将落地瞬间，A、B两物体的速度为$\sqrt{\frac{5}{6}gL}$；
（3）在A物体滑到定滑轮前过程中，试写出其加速度与运动位移的函数关系式．当x≤L时；a=$a=\frac{g}{3}+\frac{gx}{6L}$；当x＞L时，$\frac{L}{5L-x}g$．

点评 本题考查机械能守恒定律及牛顿第二定律的应用，注意本题适用牛顿第二定律中的连接体问题，难点在于绳子的质量不能忽略；故沿绳子方向上的拉力在变化．