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开普勒行星运动第三定律指出：行星绕太阳运动的椭圆轨道的半长轴a的三次方与它的公转周期T的二次方成正比，即
a2
T2
=K，k是一个对所有行星都相同的常量．将行星绕太阳的运动按圆周运动处理，请你证明太阳系中该常量的表达式为（已知引力常量为G，太阳的质量为M太）：k=
G
4π2
M太．
因行星绕太阳做匀速圆周运动，于是轨道半长轴a即为轨道半径r，根据万有引力定律和牛顿第二定律有
G
m行M太
r2
=m行(
2π
T
)2r
得：
r3
T2
=K=
GM太
4π2
练习册系列答案
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下列关于行星绕太阳运动的说法中，正确的是（　　）
A．所有行星都在同一椭圆轨道上绕太阳运动
B．行星绕太阳运动时太阳位于行星轨道的焦点处
C．行星绕太阳运动的速率不变
D．所有行星的轨道的半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等
利用下列那组数据，可以计算出地球的质量（已知引力常量G）（　　）
A．已知地球的半径R和地面的重力加速度g
B．已知卫星绕地球做匀速圆周运动的轨道半径r和线速度v
C．已知卫星绕地球做匀速圆周运动的线速度v和角速度w
D．已知卫星绕地球做匀速圆周运动的角速度w和周期T
世界上首家私人太空旅馆运营商西班牙“银河套房”公司宣布，拟在2015年建立全球第一家太空旅馆--“太空度假村”．在游客入住期间，每天能欣赏到15次日出，并将以每小时3万公里的速度旅行，每85分钟环绕地球一周．下列说法正确的是（　　）
A．“太空度假村”运行的速度小于同步卫星运行的速度
B．“太空度假村”到地球的距离大于同步卫星到地球的距离
C．“太空度假村”运行的速度小于赤道上随地球自转的物体的速度
D．“太空度假村”的向心加速度大于赤道上随地球自转的物体的向心加速度
质量为M的均匀实心球的半径为R，中心为O点．现在设想在里面造成一个球形空腔，其半径为，中心为O1，球形空腔与均匀实心球相切，在OO1的连线上与O点相距为L＞R的P点，放一个质量为m的质点，则球的剩余部分对此质点的引力F=______．
宇宙中两个相距较近的天体称为“双星”，它们以二者连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动，而不致因万有引力的作用吸引到一起．设二者质量分别为m1和m2，二者相距L，万有引力常数为G，
（1）试证明它们的轨道半径之比、线速度之比都与它们的质量成反比；
（2）试写出它们的角速度的表达式．
2013年12月6日17时53分，嫦娥三号探测器成功完成一次“太空刹车”动作，顺利进入距月面平均高度H=100km的环月圆轨道，然后再次变轨进入椭圆轨道，最后进行月球表面软着陆．软着陆过程可简化为三个阶段：距月球表面15km时打开反推发动机减速，下降到距月球表面h1=l00m高度时悬停，寻找合适落月点；找到落月点后继续下降，距月球表面h2=4m时速度再次减为0；此后，关闭所有发动机，使它做自由落体运动落到月球表面．已知嫦娥三号质量为m，月球表面重力加速度为g′，月球半径为R，忽略嫦娥三号的质量变化．求嫦娥三号（所有结果均用题给字母表示）：
（1）经“太空刹车”后的速度大小；
（2）悬停时发动机对其的作用力；
（3）从悬停到落至月球表面，发动机对其做的功．
两颗靠得很近的恒星称为双星，它们在相互之间的万有引力作用下，绕连线上的某点做匀速圆周运动．现测得两星球的质量关系为m1=4m2，已知万有引力常量为G，则两星球的轨道半径之比r1：r2=______，线速度之比v1：v2=______．
某实心均匀球的半径为R、质量为M，在球外离球面h高处有一质量为m的质点．则它们之间的万有引力为
（　　）
A．G
Mm
R2
B．G
Mm
(R+h)2
C．G
Mm
h2
D．G
Mm
R2+h2

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