Question

（2011?福建模拟）如图所示，在坐标系xOy中，x＜0的区域空间存在着垂直纸面向外的匀强磁场，x＞0的区域空间存在着电场强度大小E=

2 2 mv 2 0

qL

、方向未知的匀强电场．现有一质量为m、带电荷量为-q的微粒（重力不计），自坐标原点O以初速度v₀沿与x轴负方向成45⁰角垂直射入磁场，经过y轴上的P（0，-L）点射入电场区域，微粒进入电场后，在电场力的作用下又经P（0，-L）点返回磁场区域，经一段时间后微粒再次离开磁场进入电场．求：
（1）磁感应强度B的大小和匀强电场的方向；
（2）带电微粒自原点射出，离开原点后第四次过y轴时经历的时间．

Answer 1

分析：（1）根据题意作出粒子的运动轨迹，如图所示，由几何关系求出做圆周运动的半径，根据洛伦兹力提供向心力公式求出磁场强度，由于微粒进入电场后，在电场力的作用下又经P（0，-L）点返回磁场区域，这说明微粒进入电场后所受电场力的方向与它进入电场时的速度方向相反，即电场的方向与_y轴（或x轴）正方向的夹角为45°．
（2）微粒第二次过P点速度方向与第一次过P点时相反，与-y方向的夹角为45°，微粒第三次过Y轴时的运动方向与+x方向夹45°斜向右下方，恰好沿垂直于电场方向进入电场，在电场中做类平抛运动（如图所示），根据圆周运动时间与周期的关系及平抛运动基本公式即可求得总时间．

解答：解：（1）粒子从O做匀速圆周运动到P的轨迹如答图中的实线所示．
由几何关系知：R=Lcos45°    
又Bqv₀=m

v02

R

  
解得：B=

2 mv0

qL

    
由于微粒进入电场后，在电场力的作用下又经P（0，-L）点返回磁场区域，这说明微粒进入电场后所受电场力的方向与它进入电场时的速度方向相反，即电场的方向与_y轴（或x轴）正方向的夹角为45°．
（2）微粒第二次过P点速度方向与第一次过P点时相反，与-y方向的夹角为45°，微粒第三次过Y轴时的运动方向与+x方向夹45°斜向右下方，恰好沿垂直于电场方向进入电场，在电场中做类平抛运动（如图所示）．那么：
O→P过程的时间t₁=

3

4

×

2πR

v0

=

3 2 πL

4v0

   
微粒在电场中减速和反向回到磁场的时间t₂=2×

mv0

Eq

=

2 L

2v0

         
P→O′过程的时间t₃=

1

4

×

2πR

v0

=

2 πL

4v0

      
在电场中做类平抛运动时，建如答图中的x′O′y′的坐标系，那么：
x′=v₀t₄    y′=

1

2

at42=

Eqt42

2m

由于粒子过y轴又有x′=y′
代入值解得：t₄=

2 L

2v0

                                     
故所求的总时间t=t₁+t₂+t₃+t₄=

2 L

v0

+

2 πL

v0

=

2 L

v0

(1+π)
答：（1）磁感应强度B的大小为

2 mv0

qL

，匀强电场的方向为与_y轴（或x轴）正方向的夹角为45°；
（2）带电微粒自原点射出，离开原点后第四次过y轴时经历的时间为

2 L

v0

(1+π)．

点评：本题是带电粒子在组合场中运动的问题，粒子垂直射入电场，在电场中偏转做类平抛运动，在磁场中做匀速圆周运动，要求同学们能画出粒子运动的轨迹，结合几何关系求解，知道半径公式及周期公式，难度适中．