Question

（2011?福建模拟）如图所示，水平桌面上有一轻弹簧，左端固定在A点，自然状态时其右端位于B点．水平桌面右侧有一竖直放置的光滑轨道MNP，其形状为半径R=0.8m的圆环剪去了左上角135°的圆弧，MN为其竖直直径，P点到桌面的竖直距离也是R．用质量m₁=0.4kg的物块将弹簧缓慢压缩到C点，释放后弹簧恢复原长时物块恰停止在B点．用同种材料、质量为m₂=0.2kg的物块将弹簧缓慢压缩到C点释放，物块过B点后做匀变速运动其位移与时间的关系为s=6t-2t²，物块飞离桌面后由P点沿切线落入圆轨道．g=10m/s²，求：

（1）物块m₂过B点时的瞬时速度V₀及与桌面间的滑动摩擦因数．
（2）BP间的水平距离
（3）判断m₂能否沿圆轨道到达M点（要求计算过程）．
（4）释放后m₂运动过程中克服摩擦力做的功．

Answer 1

分析：（1）由物块过B点后其位移与时间的关系求出初速度和加速度，根据牛顿第二定律即可求得与桌面间的滑动摩擦因数．
（2）物块由D点做平抛运动，根据平抛运动的基本公式求出到达D点的速度和水平方向的位移，根据物块过B点后其位移与时间的关系得出初速度和加速度，进而根据位移-速度公式求出位移；
（3）物块在内轨道做圆周运动，在最高点有临界速度，则mg=m

vM2

R

，根据机械能守恒定律，求出M点的速度，与临界速度进行比较，判断其能否沿圆轨道到达M点．
（4）由能量转化及守恒定律即可求出m₂释放后在桌面上运动的过程中克服摩擦力做的功．

解答：解：（1）由物块过B点后其位移与时间的关系s=6t-2t²得与s=v0t+

1

2

at2比较得：
v₀=6m/s                                              
加速度a=4m/s²                                      
而μm₂g=m₂a  得μ=0.4                            
（2）设物块由D点以v_D做平抛，
落到P点时其竖直速度为vy=

2gR

 
根据几何关系有：

vy

vD

=tan45°
解得v_D=4m/s
运动时间为：t=

2R g

=

1.6 10

s=0.4s
所以DP的水平位移为：4×0.4m=1.6m
根据物块过B点后其位移与时间的关系为x=6t-2t²，有：
在桌面上过B点后初速v₀=6m/s，加速度a=-4m/s²
所以BD间位移为 sBD=

vD2-v02

2a

=2.5m
所以BP间位移为2.5+1.6m=4.1m
（2）设物块到达M点的临界速度为v_m，有：
m2g=m2

vM2

R

v_M=

gR

=2

2

m/s
由机械能守恒定律得：
 

1

2

m2v′M2=

1

2

m2vD2-

2

2

m2gR 
解得：
v′_M=

16-8 2

m/s
因为

16-8 2

＜2

2

所以物块不能到达M点．
（3）设弹簧长为AC时的弹性势能为E_P，物块与桌面间的动摩擦因数为μ，
释放m₁时，E_P=μm₁gs_CB
释放m₂时EP=μm2gsCB+

1

2

m2v02
且m₁=2m₂，
可得：EP=m2v02=7.2J
m₂释放后在桌面上运动过程中克服摩擦力做功为W_f，
则由能量转化及守恒定律得：EP=Wf+

1

2

m2vD2      
可得W_f=5.6J
答：（1）物块m₂过B点时的瞬时速度为6m/s，与桌面间的滑动摩擦因数为0.4．
（2）BP间的水平距离为4.1m；
（3）m₂不能否沿圆轨道到达M点；
（4）m₂释放后在桌面上运动的过程中克服摩擦力做的功为5.6J．

点评：该题涉及到多个运动过程，主要考查了机械能守恒定律、平抛运动基本公式、圆周运动向心力公式的应用，用到的知识点及公式较多，难度较大，属于难题．