Question

20．如图所示，光滑导轨COAB水平放置于竖直向上的匀强磁场中，放置在导轨上的导体棒EF从O点开始在外力F的作用下沿导轨向右作匀速直线运动，速度大小为v，已知磁感应强度大小为B，平行导轨宽度与导体棒长度都为l，图中α=45°，导轨OD部分与导体棒EF粗细相同，且由同种材料制成，单位长度电阻都为ρ，其余部分电阻不计．求：
（1）导体棒运动到距O点距离为$\frac{1}{2}$l时，通过导体棒的电流；
（2）在0～$\frac{l}{v}$时间内，通过导体棒某一横截面的电量q；
（3）导体棒运动了2l的过程中，导轨与导体棒共产生多少焦耳热．

Answer 1

分析 （1）先求出导体棒运动到距O点距离为$\frac{1}{2}$l时有效切割长度，结合切割产生的感应电动势和闭合电路欧姆定律求出电流强度的大小．
（2）在0～$\frac{l}{v}$时间内，导体棒运动的距离为l，回路中感应电流大小不变，由q=It求出电量q．
（3）导体棒运动了2l的过程中，分两段求焦耳热：一是导体棒运动l的过程中，感应电流大小不变，安培力均匀增大，用安培力的平均值求出克服安培力做功，即等于产生的焦耳热．导体棒运动l到2l的过程中，由焦耳定律求焦耳热．

解答 解：（1）在0～$\frac{l}{v}$时间内，导体棒运动的距离为l，此过程中导体棒的位移为x时导体棒切割的长度为 x
导体棒产生的感应电动势 E=Bxv
回路总电阻 R=2xρ
通过导体棒的电流 I=$\frac{E}{R}$
联立解得 I=$\frac{Bv}{2ρ}$
可知这个过程中通过导体棒的电流不变，一直为I=$\frac{Bv}{2ρ}$．
（2）在0～$\frac{l}{v}$时间内，通过导体棒某一横截面的电量 q=It=$\frac{Bv}{2ρ}$•$\frac{l}{v}$=$\frac{Bl}{2ρ}$
（3）导体棒运动l的过程中，感应电流大小不变，由F=BIL，知安培力均匀增大，导体棒克服安培力做功 W=$\overline{F}$l=$\frac{0+BIl}{2}l$=$\frac{B•\frac{Bv}{2ρ}•{l}^{2}}{2}$=$\frac{{B}^{2}v{l}^{2}}{4}$
由功能关系知，此过程中回路产生的焦耳热 Q₁=W=$\frac{{B}^{2}v{l}^{2}}{4}$；
导体棒运动l到2l的过程中，回路中感应电流 I′=$\frac{Blv}{2lρ}$=$\frac{Bv}{2ρ}$．
此过程中产生的焦耳热 Q₂=I′²Rt=（$\frac{Bv}{2ρ}$）²•2lρ•$\frac{l}{v}$=$\frac{{B}^{2}{l}^{2}v}{2ρ}$
答：
（1）导体棒运动到距O点距离为$\frac{1}{2}$l时，通过导体棒的电流为$\frac{Bv}{2ρ}$；
（2）在0～$\frac{l}{v}$时间内，通过导体棒某一横截面的电量q为$\frac{Bl}{2ρ}$；
（3）导体棒运动了2l的过程中，导轨与导体棒共产生的焦耳热为$\frac{{B}^{2}{l}^{2}v}{2ρ}$．

点评 本题综合考查了切割产生的感应电动势、闭合电路欧姆定律、欧姆定律等知识点，关键是注意当安培力均匀增大时，根据安培力的平均值求克服安培力做功．