Question

5．竖直固定的轨道由半径为R的光滑$\frac{3}{4}$圆弧ABC和竖直粗糙杆CD构成，二者在C点相切，如图，一自然长度为$\sqrt{2}$R的轻质橡皮绳（其伸长时说的力学性质和理想弹簧相同）一端连接在A点，另一端于套在轨道上的质量为m的小圆环相连，今将圆环沿竖直轨道拉直E点，此时橡皮绳恰好处于自然长度，由此位置静止释放圆环，圆环沿轨道向下滑动，已知圆环在轨道CD上滑动时受到大小恒为f=$\frac{1}{2}$mg的摩擦力，当小环到达P点是速度最大，A，P连线与竖直直径AB夹角为θ=30°，小环滑动到最低点B时速度为v，求：
（1）小环从E点到C点的运动时间以及到达C点时的速度大小；
（2）运动中橡皮绳的最大弹性势能；
（3）小环到达B点时对轨道的压力大小（结果可用根式表示）

Answer 1

分析 （1）小环从E点到C点的过程，橡皮绳松驰，没有拉力．小环做匀加速运动．根据动能定理求出小球到达C点的速度，由位移等于平均速度乘以时间来求运动时间．
（2）小环运动到B点时橡皮绳的伸长量最大，弹性势能最大．由E到B过程，运用能量守恒定律求橡皮绳的最大弹性势能．
（3）小环到达P点是速度最大，其沿圆弧切线方向的合力为零，由此列式求出弹簧的劲度系数．在B点，由牛顿第二定律求出轨道对小环的支持力，再由牛顿第三定律得到小环对轨道的压力大小．

解答 解：（1）由E到C过程，橡皮绳松弛，有 h=2R
根据动能定理得
  mgh-fh=$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
解得，到达C点时的速度 v₀=$\sqrt{2gR}$
由 2R=$\frac{{v}_{0}}{2}t$得
  t=$\sqrt{\frac{8R}{g}}$
（2）B点时弹性势能最大，由E到B过程，由能量守恒定律得：
  mg•3R-f•2R=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$+E_p；
解得，橡皮绳的最大弹性势能 E_p=2mg-$\frac{1}{2}m{v}^{2}$；
（3）当小环到达P点是速度最大，在P点时，应有
  mgsin60°=k（2Rcos30°-$\sqrt{2}$R）sin30°
得：k=$\frac{\sqrt{3}mg}{（\sqrt{3}-\sqrt{2}）R}$
在B点，根据牛顿第二定律得：
  k（2R-$\sqrt{2}$）R+N-mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$     
得：N=mg+m$\frac{{v}^{2}}{R}$-$\frac{2\sqrt{3}-\sqrt{6}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}$mg
根据牛顿第三定律知，小环到达B点时对轨道的压力大小  N′=N=mg+m$\frac{{v}^{2}}{R}$-$\frac{2\sqrt{3}-\sqrt{6}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}$mg
答：
（1）小环从E点到C点的运动时间是$\sqrt{\frac{8R}{g}}$，到达C点时的速度大小是$\sqrt{2gR}$；
（2）运动中橡皮绳的最大弹性势能是2mg-$\frac{1}{2}m{v}^{2}$；
（3）小环到达B点时对轨道的压力大小是mg+m$\frac{{v}^{2}}{R}$-$\frac{2\sqrt{3}-\sqrt{6}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}$mg．

点评 本题关键是明确小环的受力情况、运动情况和能量转化情况，然后结合动能定理、功能关系、牛顿第二定律和向心力公式列式求解．