Question

4．如图所示，空间某平面内有一条折线是磁场的分界线，在折线的两侧分布着方向相反、与平面垂直的匀强磁场，磁感应强度大小都为B．折线的顶角∠A=90°，P、Q是折线上的两点，AP=AQ=L．现有一质量为m、电荷量为q的带负电微粒从P点沿PQ方向射出，不计微粒的重力．
（1）为使微粒从P点射出后，途经折线的顶点A而到达Q点，求初速度v应满足什么条件？
（2）求第（1）问中微粒从P点到达Q点所用的时间．

Answer 1

分析 （1）微粒在磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力充当向心力，根据牛顿第二定律，结合几何关系，即可求解；
（2）画出微粒的运动轨迹，由n取奇数与偶数两种情况下，结合圆心角，从而求出时间．

解答 解：（1）根据运动的对称性，微粒能从P点到达Q点，应满足 L=nx，n是整数．
其中x为每次偏转圆弧对应的弦长，偏转圆弧对应的圆心角为$\frac{π}{2}$或$\frac{3π}{2}$．①
设圆弧的半径为R，则有2R²=x²，可得：R=$\frac{L}{\sqrt{2}n}$    ②
又qvB=m$\frac{{v}^{2}}{R}$，③
由①②③式得：v=$\frac{qBL}{\sqrt{2}mn}$，n=1、2、3、…
（2）当n取奇数时，微粒从P到Q过程中圆心角的总和为：θ₁=n$•\frac{π}{2}$+n$•\frac{3π}{2}$=2nπ，
 t₁=2nπ•$\frac{m}{qB}$=$\frac{2πm}{qB}$•n，其中n=1、3、5、…
当n取偶数时，微粒从P到Q过程中圆心角的总和为 θ₂=n$•\frac{π}{2}$+n$•\frac{π}{2}$=nπ
 t₂=nπ•$\frac{m}{qB}$=$\frac{πm}{qB}$•n，其中n=2、4、6、…
答：
（1）为使微粒从P点射出后，途经折线的顶点A而到达Q点，初速度v应满足的条件是：v=$\frac{qBL}{\sqrt{2}mn}$，n=1、2、3、…．
（2）第（1）问中微粒从P点到达Q点所用的时间为：当n取奇数时，微粒从P到Q过程的时间为2nπ•$\frac{m}{qB}$=$\frac{2πm}{qB}$•n，其中n=1、3、5、…
当n取偶数时，微粒从P到Q过程中的时间为nπ•$\frac{m}{qB}$=$\frac{πm}{qB}$•n，其中n=2、4、6、…．

点评 考查受力平衡条件，掌握牛顿第二定律的应用，理解在磁场中运动时间除与圆心角有关外，还与n取奇偶性有关．