Question

20．如图所示，光滑半圆形轨道处于竖直平面内，半圆轨道与光滑的水平地面相切于半圆的端点A．一质量为m的小球在水平地面上的C点受水平向左的恒力F由静止开始运动，当运动到A点时撤去恒力F，小球沿竖直半圆轨道运动到轨道最高点B点，最后又落在水平地面上的D点（图中未画出）．已知A、C间的距离为L，重力加速度为g．
（1）若轨道半径为R，求小球到达圆轨道B点时对轨道的压力F_N；
（2）为使小球能运动到轨道最高点B，求轨道半径的最大值R_m．

Answer 1

分析 （1）先由动能定理求出小球到达B点时的速度大小，再由牛顿第二定律求出轨道对小球的弹力，即可由牛顿第三定律得到小球对轨道的压力．
（2）当小球对轨道的压力恰好为零时，由上题弹力的表达式，求出轨道半径的最大值R_m．

解答 解：（1）设小球到达B点时速度为v_B，根据动能定理有：
FL-2mgR=$\frac{1}{2}$mv_B²-0
设B点时轨道对小球的压力为 F′_N，对小球在B点时进行受力分析如图，则根据牛顿第二定律得：
F′_N+mg=m$\frac{{v}_{B}^{2}}{R}$
解得：F′_N=$\frac{2FL}{R}$-5mg
根据牛顿第三定律可知小球对轨道的压力 F_N=F′_N=$\frac{2FL}{R}$-5mg，方向竖直向上
（2）小球能够到达最高点的条件是 F′_N≥0，即$\frac{2FL}{R}$-5mg≥0，
得：R≤$\frac{2FL}{5mg}$      
故轨道半径的最大值为：R_m=$\frac{2FL}{5mg}$    
答：（1）若轨道半径为R，小球到达圆轨道B点时对轨道的压力F_N是$\frac{2FL}{R}$-5mg．
（2）为使小球能运动到轨道最高点B，轨道半径的最大值R_m是$\frac{2FL}{5mg}$．

点评 本题综合运用了动能定理、牛顿第二定律，综合性较强，关键理清过程，选择适当的定理或定律进行解题．