Question

15．甲、乙两颗卫星绕同一行星做圆周运动，运动方向相同，如图所示，卫星甲的周期为T₁，卫星行星乙的周期为T₂．若T₂＞T₁，在某一时刻t₀两颗卫星相遇（两卫星距离最近），问：
（1）至少经过多长时间，两颗卫星又相遇？
（2）至少经过多长时间，两卫星距离最远？

Answer 1

分析 两行星相距最近时，两行星应该在同一半径方向上；两行星相距最远时，两行星应该在同一直径上；由于A的轨道半径小，所以A的角速度大，即A转得较快；当A比B多转一圈时两行星再次相距最近；当A比B多转半圈时两行星相距最远．

解答 解：（1）由题意知，两卫星周期满足T₁＜T₂
某时刻两卫星相距最近，则可知经过时间t₁两卫星再次相距最近时，A卫星比B卫星多转过2π弧度，即有：$（\frac{2π}{{T}_{1}}-\frac{2π}{{T}_{2}}）{t}_{1}=2π$
所以可得：${t}_{1}=\frac{2π}{\frac{2π}{{T}_{1}}-\frac{2π}{{T}_{2}}}$=$\frac{{T}_{1}{T}_{2}}{{T}_{2}-{T}_{1}}$
（2）同理当两颗卫星经过时间t₂两卫星相距最远时，A卫星比B卫星多转过π弧度，即有：
$（\frac{2π}{{T}_{1}}-\frac{2π}{{T}_{2}}）{t}_{2}=π$
所以可得：${t}_{2}=\frac{π}{\frac{2π}{{T}_{1}}-\frac{2π}{{T}_{2}}}$=$\frac{{T}_{1}{T}_{2}}{2（{T}_{2}-{T}_{1}）}$
答：（1）经$\frac{{T}_{1}{T}_{2}}{{T}_{2}-{T}_{1}}$两行星再次相距最近
（2）经$\frac{{T}_{1}{T}_{2}}{2（{T}_{2}-{T}_{1}）}$两行星相距最远．

点评 根据几何关系得到两颗卫星相距最近和相距最远所满足的角度关系，最近时两卫星在同一半径上角度差为2π弧度，卫星相距最远时，两卫星在同一直径上，转过的角度差为π弧度，这是解决本题的关键．