Question

14．如图所示，AC和BC两轻绳共同悬挂一质量为m的物体，若保持AC绳的方向不变，AC与竖直方向的夹角为60°，改变BC绳的方向，试求：
（1）物体能达到平衡时，θ角的取值范围．
（2）θ在0～90°的范围内，求BC绳上拉力的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）物体要能达到平衡，两绳的拉力的合力必须与重力平衡，方向竖直向上．当BC绳竖直时，AC绳拉力为零，物体可以平衡；当θ小于120°时，两绳拉力的合力能与重力平衡．根据平衡条件确定出θ角的最小值和最大值，再求出θ的取值范围．
（2）根据作图法确定BC绳上拉力达到最大和最小的条件，再由平衡条件求解．

解答 解：（1）改变BC绳的方向时，AC绳的拉力TA方向不变，两绳拉力的合力F与物体的重力平衡，重力大小和方向均保持不变，如图所示，

经分析可知，θ最小为0°，此时T_A=0；且θ必须小于120°，否则两绳的合力不可能竖直向上．所以θ角的取值范围是0°≤θ＜120°．
（2）θ在0～90°的范围内，由图知，当θ=90°时，T_B最大，${T_B}=mgtan60°=\sqrt{3}mg$．
当两绳垂直，即θ=30°时，TB最小，${T_B}=mgsin60°=\frac{{\sqrt{3}}}{2}mg$．
答：（1）物体能达到平衡时，θ角的取值范围为0°≤θ＜120°；
（2）θ在0～90°的范围内，BC绳上拉力的最大值和最小值分别${T_{max}}=\sqrt{3}mg；{T_{min}}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}mg$．

点评 本题关键是通过作图法确定极值条件，也可以记住BC拉力最小的条件：当一个分力方向一定，两个力的合力一定，则当另一个分力与这个分力垂直时有最小值．